难度： 困难

标签： 数列问题导数问题极值点“0”的运用

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

设函数 $f(x)=xlnx-m{x}^3+mx+1$，其中 $m\in R$

（1）求函数 $f^{\prime }(x)$ 的极值

（2）若对于任意的 $x\in (1,+\mathrm{\infty })$ 都有 $f(x)<\frac{x}{e^{x-1}}$成立，求 m 的取值范围。

解

第一问

$f^{\prime }(x)=lnx+1-3m{x}^2+m$

令 $g(x)=lnx+1-3m{x}^2+m$

$g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-6mx$

$=\frac{1-6m{x}^2}{x},x>0$

当 $m⩽0$

$g^{\prime }(x)>0,g(x)$ 单调递增

无极值。

当 $m>0$

$0<x<\frac{1}{\sqrt{6}m}$ 时，

$g^{\prime }(x)>0$

$x>\frac{1}{\sqrt{6m}}$ 时，

$g^{\prime }(x)<0$

所以 $g(x)$ 先增后减，有极大值 $g(\frac{1}{\sqrt{6m}})$

$g(\frac{1}{\sqrt{6m}})=ln\frac{1}{\sqrt{6m}}+1-3m\cdot \frac{1}{6m}+m$

$=-\frac{1}{2}ln6m+\frac{1}{2}+m$

第二问

由题意得，

$xlnx-m{x}^3+mx+1<\frac{x}{e^{x-1}},x\in (1,+\mathrm{\infty })$ 恒成立。

观察到参数分离会比较难求导，直接分类讨论也比较没有思路。

$xlnx-m{x}^3+mx+1-\frac{x}{e^{x-1}}<0$

即说明 $lnx-m{x}^2+m+\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x-1}}<0,x\in (1,+\mathrm{\infty })$

令 $h(x)=lnx-m{x}^2+m+\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x-1}}$

观察到 $h(0)=0$

因为 $h(x)<0$ 恒成立

所以 $h^{\prime }(0)⩽0$

$h^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-2mx-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{e^{x-1}}$

$h^{\prime }(1)=1-2m⩽0$

$m⩾\frac{1}{2}$

接下来再证明 $x>1,m⩾\frac{1}{2}$ 时，$h^{\prime }(x)⩽0$ 或 $h(x)⩽0$。

发现证明 $h^{\prime }(x)⩽0$ 好证一点，通过放缩法证明。

$h^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-2mx-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{e^{x-1}}⩽\frac{1}{x}-x-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{e^{x-1}}$

$⩽\frac{1}{x}-x-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}$

$=\frac{2x-x^3-1}{x^2}=\frac{(x-1)(-x^2-x+1)}{x^2}<0$

所以得证。