难度： 困难

标签： 三角函数问题1 的妙用三角函数公式最值问题柯西不等式诱导公式三角函数的和与差公式

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

在斜 $\mathrm{△}ABC$ 中，若 $sinA=cosB$，则 $3tanB+tanC$ 的最小值为（）

$A.\sqrt{2}$

$B.\sqrt{5}$

$C.\sqrt{6}$

$D.4\sqrt{3}$

解法一，1 的妙用

这种解法有问题，因为题目说的斜角指这个三角形不是直角三角形，并不能确定是直角还是锐角三角形，不能得出 $A>\frac{\pi }{2}>B$ 。需要通过诱导公式得出 $sinA=sin(\frac{\pi }{2}-B)$，然后得出 $A=\frac{\pi }{2}+B$

题目条件为 $sinA=cosB,A\ne B$

那么 $A>\frac{\pi }{2}>B$

因为 $si{n}^{2}A+co{s}^{2}A=si{n}^{2}B+co{s}^{2}B$

所以 $cosA=-sinB$

$tanA=\frac{cosB}{-sinB}=-\frac{1}{tanB}$

所以

$3tanB+tanC$

$=3tanB-tan(A+B)$

$=3tanB-\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$

$=3tanB-\frac{-\frac{1}{tanB}+tanB}{1-(-1)}$

$=3tanB-\frac{tanB-\frac{1}{tanB}}{2}$

$=\frac{5}{2}tanB+\frac{1}{2tanB}$

$⩾2\sqrt{5}$

$=\sqrt{5}$，当 $tanB=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时取等。

解法二，柯西不等式

因为 $sinA=cosB$

所以 $sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=cosB$

$tanBcosC+sinC=1,tanB=\frac{1-sinC}{cosC}$

所以 $3tanB+tanC=\frac{3-3sinC}{cosC}+\frac{sinC}{cosC}=\frac{3-2sinC}{cosC}$

令 $\frac{3-2sinC}{cosC}=m$，则 $3=mcosC+2sinC⩽\sqrt{(m^2+2^2)(co{s}^{2}C+si{n}^{2}C)}$

所以 $m^2⩾5$

因为 C 为锐角，所以 $m>0$

所以当 $\frac{m}{cosC}=\frac{2}{sinC}$ 即 $tanC=\frac{2}{m}$ 时取等，等号显然能取到。