难度： 困难

标签： 方程根的理解未知极值点问题导数问题基本不等式证明题最值问题求定义域问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 易错题

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=a{e}^{x-1}-lnx+lna$

(1) 当 $a=e$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积

(2) 若 $f(x)⩾1$，求 $a$ 的取值范围。

解

(1)

$a=e,y=f(x)=e^x-lnx+1$

$f(1)=e+1$

$f^{\prime }(x)=e^x-\frac{1}{x}$

$f^{\prime }(1)=e-1$

$l:y=(e-1)(x-1)+e+1$

当 $x=0$ 时，$y=1-e+e+1=2$

当 $y=0$ 时，$x=\frac{2}{1-e}$

$S_{\mathrm{△}}=\frac{1}{2}\frac{2}{e-1}2$

$=\frac{2}{e-1}$

(2)

法一

$a{e}^{x-1}-lnx+lna⩾1,x>0,a>0$ 恒成立

$a{e}^{x-1}-lnx+lna-1⩾0,x>0,a>0$ 恒成立

令 $g(x)=a{e}^{x-1}-lnx+lna-1,x>0,a>0$

则 $g(x{)}_{min}⩾0$

$g^{\prime }(x)=a{e}^{x-1}-\frac{1}{x}=\frac{ax{e}^{x-1}-1}{x}$

因为 $a>0$

存在 $x_0$ 使得 $a{x}_0{e}^{x_0-1}-1=0$

在 $(0,x_0)$ 上 $g^{\prime }(x)<0,g(x)$ 单调递减

在 $(x_0,+\mathrm{\infty })$ 上 $g^{\prime }(x)>0,g(x)$ 单调递增

$g(x{)}_{min}=g(x_0)=a{e}^{x_0-1}-ln{x}_0+lna-1$

$=\frac{1}{x_0}+(lna+x_0-1)+lna-1$

$=\frac{1}{x_0}+x_0+2lna-2$

$⩾2+2lna-2$，当 $x_0=1$ 时取等

$=2lna⩾0$

$\therefore a⩾1$

法二

我们在得出 $g(x{)}_{min}=a{e}^{x_0-1}-ln{x}_0+lna-1$ 后，

根据 $a{e}^{x_0-1}=\frac{1}{x_0}$ 将这个式子全部用 $x_0$ 表示

$g(x{)}_{min}=\frac{1}{x_0}-2ln{x}_0-x_0⩾0$

因为这个一个减函数，当 $x_0=1$ 时，$g(1)=0$

所以 $0<x_0⩽1$

而 $lna=1-x_0-ln{x}_0$

所以 $lna\in [0,+\mathrm{\infty })$

所以 $a\in [1,+\mathrm{\infty })$