难度： 困难

标签： 导数问题恒成立问题未知极值点问题最值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=lnx-m{x}^2+(1-2m)x+1$

(1) 若 $m=1$，求 $f(x)$ 的极值；

(2) 若对任意 $x>0$，$f(x)\le 0$ 恒成立，求整数 $m$ 的最小值

解

(1)

(2)

$lnx-m{x}^2+(1-2m)x+1\le 0$

$lnx+x+1\le (x^2+2x)m$

$(\frac{lnx+x+1}{x^2+2x}{)}_{max}\le m$

令 $g(x)=\frac{lnx+x+1}{x^2+2x}$

$g^{\prime }(x)=\frac{(\frac{1}{x}+1)(x^2+2x)-(lnx+x+1)(2x+2)}{(x^2+2x{)}^2}$

$=\frac{(1+x)(x+2)-2(lnx+x+1)(x+1)}{(x^2+2x{)}^2}$

$=-\frac{(1+x)(x+2lnx)}{(x^2+2x{)}^2}$

令 $h(x)=x+2lnx$, $h^{\prime }(x)=1+\frac{2}{x}>0$

假设 $h(x_0)=x_0+2ln{x}_0=0$

那么 $g(x)$ 在 $(0,x_0)$ 单增，$(x_0,+\mathrm{\infty })$ 单减。

所以 $g(x)$ 在 $x_0$ 处取得最大值。

因为是求整数 m，

而 $g(x{)}_{max}=g(x_0)=\frac{ln{x}_0+x_0+1}{x_0^2+2x_0}$

$=\frac{-\frac{1}{2}{x}_0+x_0+1}{x_0^2+2x_0}$

$=\frac{\frac{1}{2}{x}_0+1}{x_0(x_0+2)}=\frac{1}{2x_0}$

因为 $x_0<1$，所以 $\frac{1}{2x_0}>\frac{1}{2}$

那么 $\frac{1}{2x_0}$ 小于多少呢？如果小于 1，那么 $x_0>\frac{1}{2}$

，判断 $x_0>\frac{1}{2}$ 是否正确。

$h(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}+2ln\frac{1}{2}$

$=\frac{1}{2}-2ln2=\frac{1}{2}-ln4<0$

所以 $x_0\in (\frac{1}{2},1)$

所以 $g(x{)}_{max}\in (\frac{1}{2},1)$

所以 $m=1$。

反思

有时候我们得出某个导函数等于 0 恒成立，但是解不出那个根。也许我们也不需要知道那个根，只需要设出这个根，利用这个根满足的一个等式能解决一些问题即可。