难度： 困难

标签： 长除法参数分离分类讨论恒成立问题最值问题导数问题求取值范围对数单身狗指数找基友

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 易错题

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=e^x+a{x}^2-x$.

（1）当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；

（2）当 $x⩾0$ 时，$f(x)⩾\frac{1}{2}{x}^3+1$，求 a 的取值范围。

解

(1)

当 $a=1$ 时，$f(x)=e^x+x^2-x$

$f^{\prime }(x)=e^x+2x-1$

$\because f^{\prime }(0)=e^0-1=0$

$f^{\prime }(x)$ 是单调增函数，在 R

所以 $x<0,f^{\prime }(x)<0$

$x>0,f^{\prime }(x)>0$

所以 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },0)$ 单调递减， 在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 单调递增。

(2)

$f(x)=e^x+a{x}^2-x⩾\frac{1}{2}{x}^3+1,x⩾0$

$a{x}^2⩾-e^x+\frac{1}{2}{x}^3+x+1$

当 $x=0$，$f(x)⩾\frac{1}{2}{x}^3+1$ 恒成立。

当 $x>0$

$a⩾\frac{-e^x+\frac{1}{2}{x}^3+x+1}{x^2}$

令 $g(x)=\frac{-e^x+\frac{1}{2}{x}^3+x+1}{x^2}$

$g^{\prime }(x)=\frac{(-e^x+\frac{3}{2}{x}^2+1)x^2-(-e^x+\frac{1}{2}{x}^3+x+1)\cdot 2x}{x^4}$

$=\frac{(-x^2{e}^x+\frac{3}{2}{x}^4+x^2)-(-2x{e}^x+x^4+2x^2+2x)}{x^4}$

$=\frac{(2x-x^2)e^x+\frac{1}{2}{x}^4-x^2-2x}{x^4}$

$=\frac{(2-x)e^x+\frac{1}{2}{x}^3-x-2}{x^3}$

$=\frac{(2-x)e^x+(x-2)(\frac{1}{2}{x}^2+x+1)}{x^3}$

$=\frac{(2-x)(e^x-\frac{1}{2}{x}^2-x-1)}{x^3}$

令 $h(x)=e^x-\frac{1}{2}{x}^2-x-1$

$h^{\prime }(x)=e^x-x-1>0,x>0$

所以 $h(x)$ 在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 单增

$h(0)=0$

所以 $h(x)>0,x>0$

所以 $g^{\prime }(x)>0,x\in (0,2)$

$g^{\prime }(x)<0,x\in (2,+\mathrm{\infty })$

所以 $g(x)$ 在 $(0,2)$ 单增，在 $(2,+\mathrm{\infty })$ 单减

$g(x{)}_{max}=g(2)=\frac{-e^2+7}{4}$

综上，

$\therefore a\in [\frac{7-e^2}{4},+\mathrm{\infty })$

易错点

1. 未讨论 x =0 的情况
2. 教训：当在定义域内分母可能为零时，可以进行对不同的定义域进行分类讨论

TIP

求导后，对式子中需要讨论正负的地方进行讨论。如果是一个二次函数，且能因式分解，那么就比较好讨论正负情况。如果不能因式分解，那么就很难讨论正负。

法 2，对数单身狗，指数找基友法

$x⩾0,e^x+a{x}^2-x⩾\frac{1}{2}{x}^3+1$ 恒成立

$e^x+a{x}^2-x-\frac{1}{2}{x}^3-1⩾0$ 恒成立

$\frac{a{x}^2-x-\frac{1}{2}{x}^3-1}{e^x}+1⩾0$ 恒成立

令 $g(x)=1+\frac{a{x}^2-x-\frac{1}{2}{x}^3-1}{e^x}$

$g^{\prime }(x)=\frac{2ax-\frac{3}{2}{x}^2-a{x}^2+x+\frac{1}{2}{x}^3}{e^x}$

$=\frac{\frac{1}{2}{x}^3-(\frac{3}{2}+a)x^2+(2a+1)x}{e^x}$

$=\frac{x^3-(3+2a)x^2+2(2a+1)x}{2e^x}$

$=\frac{x[x^2-(3+2a)x+2(2a+1)]}{2e^x}$

如果不能因式分解，那么该怎么分类讨论呢？

$=\frac{x[x-(2a+1)](x-2)}{2e^x}$

一、当 $2a+1⩽0$

$a⩽-\frac{1}{2}$

$0<x<2,g^{\prime }(x)<0,g(x)\downarrow$

而 $g(0)=0$

所以不符题意

二、$0<2a+1<2$

$-\frac{1}{2}<a<\frac{1}{2}$

必须满足 $g(0)⩾0$ $g(2)⩾0$

解得

$a⩾\frac{7-e^2}{4}$

三、$2a+1=2$

$a=\frac{1}{2}$

$g^{\prime }(x)⩾0,g(x)\uparrow$

$g(x)⩾g(0)=0$

四、当 $a>\frac{1}{2}$

必须满足 $g(2a+1)⩾0$

但如果直接计算 $g(2a+1)$ 的正负，那么将非常难计算。

所以使用主元替换（或则叫放缩）

证明 $g(x)>1+\frac{\frac{1}{2}{x}^2-x-\frac{1}{2}{x}^3-1}{e^x}⩾0$

令 $\phi (x)=\frac{\frac{1}{2}{x}^2-x-\frac{1}{2}{x}^3-1}{e^x}$

${\phi }^{\prime }(x)=\frac{x(x-2{)}^2}{2e^x}>0$

所以 $\phi (x)>\phi (0)=-1$

所以 $g(x)>1+\phi (x)>0$

符合条件。

综上，$a\in [\frac{7-e^2}{4},+\mathrm{\infty })$

第 3 次做（教训：当在定义域内分母可能为零时，可以进行分类讨论）

第 3 次做（端点效应失效，为什么失效？）