难度： 困难

标签： 切线问题点斜式数形结合错题求取值范围

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

若曲线 $y=(x+a)e^x$ 有两条过坐标原点的切线，则 a 的取值范围是____.

解

错误解法：

使用数形结合。

$y=(x+a)e^x$

$y^{\prime }=(x+1+a)e^2$

所以当 $x<-a-1$ 时函数单调递减。

当 $x>-a-1$ 时函数单调递增。

$y_{min}=-e^{-1-a}>0$ 恒成立。

然后就大致画出函数图像草图，不曾想真实图像的具体增减情况不知道。

减地是越快还是越慢？增地是越快越慢？不像二次图像那样简单直观。

正确解法：

$y^{\prime }=(x+1+a)e^x$

设切点坐标为 $(x_0,(x_0)+a)e^{x_0}$

根据点斜式，可以写出切线的直线方程，

$y=(x_0+1+a)(x-x_0)e^{x_0}+(x_0+a)e^{x_0}$

因为切线过点 $(0,0)$

所以 $0=-(x_0+1+a)x{e}^{x_0}+(x_0+a)e^{x_0}$

$x_0^2+a{x}_0-a=0$

要有两条切线，就是要 $\mathrm{\Delta }=a^2+4a>0$

即 $a<-4\mathrm{或}a>0$

TIP

表述一： 知道一个点和一个函数方程。能求出若干过这个点且是函数切线的直线方程。

例如有函数 $y=2x^2+3x+1$，已知点 $A(2,1)$，求过点 A 且与函数 y 相切的直线的切点。

可以算出来为 $(1,6),(3,28)$

表述二： 对一个已知的函数方程 $f(x)$，要求这个函数上的某一点的切线方程，只需知道这一条切线上的某个点的坐标即可（零点或者任意点）