难度： 中等

标签： 权方和不等式最值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

设 $a,b$ 为正实数，且 $a+2b+\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{13}{2}$，则 $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$ 的最大最小值之和为（）

解

$a+2b+\frac{1}{a}+\frac{2^2}{2b}=\frac{13}{2}⩾a+2b+\frac{(1+2{)}^2}{a+2b}$

$\frac{13}{2}⩾\frac{9}{a+2b}+a+2b$

令 $t=a+2b,t>0$,

$\frac{13}{2}⩾\frac{9+t^2}{t}$

$13t⩾2t^2+18$

$2t^2-13t+18⩽0$

$t\in [2,\frac{9}{2}]$

所以 $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{13}{2}-t\in [2,\frac{9}{2}]$

所以和为 $\frac{13}{2}$