难度： 困难

标签： 权方和不等式配凑最值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知 $x\in (0,\frac{\pi }{2}),\mathrm{求}\frac{1}{sinx}+\frac{7}{cosx}$ 的最小值（）

解

利用权方和不等式的三次推论求解该题。

$(\frac{1}{sinx}+\frac{7}{cosx})(\frac{1}{sinx}+\frac{7}{cosx})(si{n}^{2}x+co{s}^{2}x)$

$=([(\frac{1}{sinx}{)}^{\frac{1}{3}}{]}^3+[(\frac{1}{sinx}{)}^{\frac{1}{3}}{]}^3)...$

$⩾[(\frac{1}{sinx}\cdot \frac{1}{sinx}\cdot si{n}^{2}x{)}^{\frac{1}{3}}+(\frac{7}{cosx}\cdot \frac{7}{cosx}\cdot co{s}^{2}x{)}^{\frac{1}{3}}{]}^3$

$=[1+\sqrt[3]{49}{]}^3$

所以原式 $⩾[1+\sqrt[3]{49}{]}^{\frac{3}{2}}$

法二：

也可以直接配凑。

$\mathrm{原}\mathrm{式}=\frac{1}{(si{n}^{2}x{)}^{\frac{1}{2}}}+\frac{(7^{\frac{2}{3}}{)}^{\frac{3}{2}}}{(co{s}^{2}x{)}^{\frac{1}{2}}}⩾\frac{(1+7^{\frac{2}{3}}{)}^{\frac{3}{2}}}{1}$