难度： 简单

标签： 权方和不等式最值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

对任意实数 $x>1,y>\frac{1}{2}$，不等式 $\frac{x^2}{a^2(2y-1)}+\frac{4y^2}{a^2(x-1)}⩾1$ 恒成立，则实数 a 的最大值为（）。

$A.2$

$B.4$

$C.\frac{\sqrt{1}4}{2}$

$D.2\sqrt{2}$

解

$\frac{x^2}{a^2(2y-1)}+\frac{4y^2}{a^2(x-1)}⩾1$

$\frac{1}{a^2}\cdot (\frac{x^2}{2y-1}+\frac{(2y{)}^2}{x-1})⩾\frac{1}{a^2}\cdot \frac{(x+2y{)}^2}{x+2y-2}$

$t=x+2y-2>0$

$=\frac{t^2+4t+4}{a^{2}t}$

$=\frac{1}{a^2}\cdot (t+4+\frac{4}{t})$

$⩾\frac{1}{a^2}\cdot 8$

当 $\frac{x}{2y-1}=\frac{2y}{x-1}\mathrm{且}x+2y-2=2$ 时取得两个等号

，即 $x=2,y=1$ 时，式子有最小值 $\frac{8}{a^2}$

所以 $\frac{8}{a^2}⩾1$

$a^2⩽8$

$a_{max}=2\sqrt{2}$