难度： 中等

标签： 权方和不等式最值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知 $a>1,b>1$，求 $\frac{b^2}{a-1}+\frac{a^2}{b-1}$ 的最小值。

解

根据权方不等式，柯西变式得

$\frac{b^2}{a-1}+\frac{a^2}{b-1}⩾\frac{(a+b{)}^2}{a+b-2}$，当 $\frac{b}{a-1}=\frac{a}{b-1}$ 取等，即 $b^2-b=a^2-a$ 取等。

接下来就不是不等式问题了，而是常见的求值域问题。

令 $t=a+b-2,t>0(\mathrm{因}\mathrm{为}a>1,b>1)$，则

$\frac{(a+b{)}^2}{a+b-2}=\frac{(t+2{)}^2}{t}=t+\frac{4}{t}+4⩾8$，当 $t=2$ 时取等。

所以 $a+b=4,a=b=2$ 时原式取得最小值 $8$