难度： 简单

标签： 柯西不等式最值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知 $a,b,c\in R$，且 $3a^2+3b^2+4c^2=60$

(1) 求 $a+b+c$ 的最大值

解

我们可以把 $3a^2+3b^2+4c^2$ 看成 $[(\sqrt{3}a{)}^2+(\sqrt{3}b{)}^2+(2c{)}^2]$，

那么根据柯西不等式，我们可以构造一组数（这组数为 0 次），使得

$[(\sqrt{3}a{)}^2+(\sqrt{3}b{)}^2+(2c{)}^2]\cdot [x+y+z]⩾(a+b+c{)}^2$

即

$[(\sqrt{3}a{)}^2+(\sqrt{3}b{)}^2+(2c{)}^2]\cdot [(\frac{1}{\sqrt{3}}{)}^2+(\frac{1}{\sqrt{3}}{)}^2+(\frac{1}{2}{)}^2]⩾(a+b+c{)}^2$

所以

$60\times \frac{11}{12}⩾(a+b+c{)}^2$

$(a+b+c)⩽\sqrt{55}$

所以最大值为 $\sqrt{5}5$，

在 $\frac{\sqrt{3}a}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}b}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{2c}{\frac{1}{2}}=k$ 时取等号。

即 $3a=3b=4c=k$，代入 $3a^2+3b^2+4c^2=60$，得

$k=\frac{12\sqrt{55}}{11}$

$a=\frac{4\sqrt{55}}{11},b=\frac{4\sqrt{55}}{11},c=\frac{3\sqrt{55}}{11}$