难度： 困难

标签： 圆锥曲线抛物线最值范围问题面积之比问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$M(x,\frac{x_1^2}{2p}),N(x_2,\frac{x_2^2}{2p})$

$k_{OM}=\frac{x_1}{2p},k_{ON}=\frac{x_2}{2p}$

$k_{OM}{k}_{ON}=\frac{x_1{x}_2}{4p^2}$

设直线 $l:y=kx+\frac{p}{2}$

$\{\begin{array}{l}{x}^2-2py=0\\ y=kx+\frac{p}{2}\end{array}$

$x^2-2p(kx+\frac{p}{2})=0$

$x^2-2pkx-p^2=0$

$x_1{x}_2=-p^2$

$k_{OM}{k}_{ON}=-\frac{1}{4}$

解（2）

$k_{OP}=k_1,k_{OQ}=k_2$

$k_1{k}_2=-\frac{1}{4}$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ y=k_{1}x\end{array}$

$(b^2+a^2{k}_1^2)x^2=a^2{b}^2$

$x_p^2=\frac{a^2{b}^2}{b^2+a^2{k}_1^2}$

$y_p^2=\frac{k_1^2{a}^2{b}^2}{b^2+a^2{k}_1^2}$

同理，$x_q^2=\frac{a^2{b}^2}{b^2+a^2{k}_2^2},y_q^2=\frac{k_2^2{a}^2{b}^2}{b^2+a^2{k}_2^2}$

$k_1{k}_2=-\frac{1}{4},k_2=-\frac{1}{4k_1}$

所以 $x_p^2+x_q^2+y_p^2+y_q^2=5$

$a^2{b}^2\frac{1+k_1^2}{b^2+a^2{k}_1^2}+a^2{b}^2\frac{1+k_2^2}{b^2+a^2{k}_2^2}=5$

$\frac{1+k_1^2}{b^2+a^2{k}_1^2}+\frac{1+\frac{1}{16k_1^2}}{b^2+a^2\frac{1}{16k_1^2}}=\frac{5}{a^2{b}^2}$

$\frac{1+k_1^2}{b^2+a^2{k}_1^2}+\frac{16k_1^2+1}{16k_1^2{b}^2+a^2}=\frac{5}{a^2{b}^2}$

$\frac{(1+k_1^2)(16k_1^2{b}^2+a^2)+(b^2+a^2{k}_1^2)(16k_1^2+1)}{(b^2+a^2{k}_1^2)(16k_1^2{b}^2+a^2)}=\frac{5}{a^2{b}^2}$

把 a、b 当作常数，$k_1$ 当作变量。合并同类项

$\frac{k_1^4(16b^2+16a^2)+k_1^2(a^2+16b^2+a^2+16b^2)+a^2+b^2}{16k_1^4(a^2{b}^2)+k_1^2(a^4+16b^4)+a^2{b}^2}=\frac{5}{a^2{b}^2}$

所以 $\frac{16b^2+16a^2}{16a^2{b}^2}=\frac{2a^2+32b^2}{a^4+16b^4}=\frac{a^2+b^2}{a^2{b}^2}=\frac{5}{a^2{b}^2}$

所以 $a^2+b^2=5$

猜测 $a^2=4,b^2=1$

则 $\frac{2a^2+32b^2}{a^4+16b^4}=\frac{8+32}{16+16}=\frac{40}{32}=\frac{5}{4}$，正确

$a^2=4,b^2=1$

$\frac{x^2}{4}+y^2=1$

解（3）

$\frac{S_{OMN}}{S_{OPQ}}=\frac{|OM|\cdot |ON|}{|OP|\cdot |OQ|}=\frac{x_M}{x_p}\frac{x_N}{x_Q}=|\frac{x_M{x}_N}{x_p{x}_q}|$

$x_M{x}_N=-p^2$

$x_p=\sqrt{\frac{4}{1+4k_1^2}},x_q=\sqrt{\frac{4}{1+4k_2^2}}=\sqrt{\frac{4}{1+\frac{1}{4k_1^2}}}=\sqrt{\frac{16k_1^2}{4k_1^2+1}}$

$\mathrm{求}=\frac{p^2}{\sqrt{\frac{64k_1^2}{(4k_1^2+1{)}^2}}}=\frac{p^2}{8}\sqrt{\frac{(4k_1^2+1{)}^2}{k_1^2}}$

$=\frac{p^2}{8}\frac{4k_1^2+1}{k_1}=\frac{p^2}{8}(4k_1+\frac{1}{k_1})⩾\frac{p^2}{8}2\sqrt{4}$

$=\frac{p^2}{2}=1$

$p=\sqrt{2}$

$x^2=2\sqrt{2}x$

TIP

当发现采取不同方法都到达同一步时，那么说明可能这一步需要继续走下去。

比如这道题，当我走到下面这一步时

$a^2{b}^2\frac{1+k_1^2}{b^2+a^2{k}_1^2}+a^2{b}^2\frac{1+k_2^2}{b^2+a^2{k}_2^2}=5$ 恒成立，

且 $k_1{k}_2=-\frac{1}{4}$，

就感觉做不下去了，接下来不知道该怎么做。然后就以为方法错了，其实没有错，需要继续统一变量、通分，然后变成一个分式，

根据分式恒为定值，那么分子、分母的几次方比几次方是同一个比例，得到关于 a、b 的几个方程，肯定能求出 a、b。

定值，恒成立问题

最后需要化简、统一变量，变成一个分式，

那么分式为定值，则分子和分母相同的次数项的系数比两两相等（几次方比几次方，它们的比例是同一个值。）