难度： 困难

标签： 圆锥曲线抛物线最值范围问题定点定值问题切线问题双切线问题阿基米德三角形

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$F(0,c)$

$\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{|c+2|}{\sqrt{1+1}}$

$\frac{9}{2}=\frac{(c+2{)}^2}{2}$

$c=1$

$\frac{p}{2}=1,p=2$

$x^2=4y$

$x^2=4y$

解（2）

设 $A(x_1,\frac{x_1^2}{4}),B(x_2,\frac{x_2^2}{4})$

直线 $AP:y-\frac{x_1^2}{4}=\frac{x_1}{2}(x-x_1)$

直线 $BP:y-\frac{x_2^2}{4}=\frac{x_2}{2}(x-x_2)$

实际上根据米老头三角形，可以得出切线交点的横坐标就是 A、B 横坐标的中点。

所以交点 $(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{x_1{x}_2}{4})$

所以 $\frac{x_1+x_2}{2}=x_0,\frac{x_1{x}_2}{4}=y_0$

设直线 $AB:y=kx+m$

$\{\begin{array}{l}y=\frac{x^2}{4}\\ y=kx+m\end{array}$

$x^2-4kx-4m=0$

$x_1+x_2=4k,x_1{x}_2=-4m$

所以 $2x_0=4k,4y_0=-4m$

$k=\frac{1}{2}{x}_0,m=-y_0$

$y=\frac{1}{2}{x}_{0}x-y_0$

解（3）

$|AF|=\frac{x_1^2}{4}+\frac{p}{2}=\frac{x_1^2}{4}+1$

$|BF|=\frac{x_2^2}{4}+1$

所以 $|AF|\cdot |BF|=(\frac{x_1^2}{4}+1)(\frac{x_2^2}{4}+1)$

$=\frac{x_1^2{x}_2^2}{16}+\frac{x_1^2+x_2^2}{4}+1$

$=y_0^2+\frac{(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2}{4}+1$

$=y_0^2+\frac{4x_0^2-2\cdot 4y_0}{4}+1$

$=y_0^2+x_0^2-2y_0+1$

因为 $(x_0,y_0)$ 在直线 $y=x-2$ 上，

所以原式 $=(x_0-2{)}^2+x_0^2-2(x_0-2)+1$

$=2x_0^2-6x_0+9$

$=2(x_0-\frac{3}{2}{)}^2-\frac{9}{2}+9$

$⩾\frac{9}{2}$，当 $x_0=\frac{3}{2}$ 时取等。

TIP

高考场上 95% 的抛物线开口向上，因为这样可以求导，在设出一个的横坐标 $x_1$ 后，可以根据这个 $x_1$ 写出纵坐标、斜率、过这个点的切线方程。

向右的抛物线需要令 $\mathrm{\Delta }=0$

TIP

抛物线切线问题三大步骤：

一、设切点

$A(x_1,\frac{x_1^2}{4}),B(x_2,\frac{x_2^2}{4})$

二、表达切线

$y-\frac{x_1^2}{4}=\frac{x_1}{2}(x-x_1)$

三、出交点（两切线的交点）

交点是两个切点的横坐标的中间值。$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{x_1{x}_2}{2p})$

TIP

抛物线开口向上，正设直线比较简单。

TIP

涉及阿基米德三角形

抛物线求切点弦方程

假设抛物线 $x^2=4y$，过一点 $(x_0,y_0)$ 做抛物线的两条切线，那么两个切点形成的直线方程为：

$x_{0}x=2(y+y_0)$

即 $y=\frac{1}{2}{x}_{0}x-y_0$。这其实是一个结论。

如果我们要写过程，那么就把两个点设出来，然后设出切线，然后求出切线交点，然后就得到了用交点 $(x_0,y_0)$ 表示的 $x_1,x_2$ 韦达形式的式子，比如 $\frac{x_1+x_2}{2}=x_0,\frac{x_1{x}_2}{4}=y_0$

再然后设切点弦方程为 $y=kx+m$（开口向上正设简单点），与抛物线联立，又可以得到用 $k,m$ 表示 $x_1+x_2,x_1{x}_2$ 的韦达定理。

然后就把 $k,m$ 与 $x_0,y_0$ 联系起来了，并且可以用 $x_0$ 表示出 $k$，用 $y_0$ 表示出 $m$。