难度： 困难

标签： 圆锥曲线双曲线最值范围问题定点定值问题切线问题双切线问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\frac{x^2}{4}-y^2=1$

解（2）

设直线 $x=my+n$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}-y^2=1\\ x=my+n\end{array}$

$(my+n{)}^2-4y^2-4=0$

$(m^2-4)y^2+2mny+n^2-4=0$

${\mathrm{\Delta }}_y=4m^2{n}^2-4[m^2{n}^2-4m^2-4n^2+16]=0$

$m^2+n^2=4$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}-y^2=0\\ x=my+n\end{array}$

$(m^2-4)y^2+2mny+n^2=0$

设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$

$|y_1-y_2|=\frac{\sqrt{4m^2{n}^2-4n^2(m^2-4)}}{m^2-4}$

$=\frac{4\sqrt{n^2}}{|m^2-4|}$

$=\frac{4|n|}{m^2-4}$

$S=\frac{1}{2}|n|\frac{4|n|}{n^2-4}$

$=2\frac{n^2}{|m^2-4|}=\frac{2n^2}{n^2}=2$

双曲线推论

若双曲线的切线，与渐进线交于两点 $M,N$，那么有推论：

一、$S_{\mathrm{△}OMN}$ 为定值 $=ab$

这个三角形也被称为“切渐三角形”（由切点和渐近线交点形成）

二、切点 $G$ 为 $M,N$ 交点的中点。

三、$k_{OG}\cdot k_{MN}=\frac{b^2}{a^2}$（双曲线第三定义）