难度： 困难

标签： 圆锥曲线最值范围问题定点定值问题非对称韦达定理椭圆第三定义

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$k_{AM}=\frac{y}{x+2},k_{BM}=\frac{y}{x-2}$

$\frac{y}{x+2}\frac{y}{x-2}=-\frac{1}{4}$

$\frac{y^2}{x^2-4}=-\frac{1}{4}$

$\frac{x^2}{4}+y^2=1(x\ne \pm 2)$

是一个椭圆。

解（2）①

设 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$

$k_{AP}=7k_{BQ}$

$k_{AP}{k}_{PB}=-\frac{1}{4}$

所以 $7k_{BQ}{k}_{PB}=-\frac{1}{4}$

$k_{QB}{k}_{PB}=-\frac{1}{28}$

$\frac{y_2}{x_2-2}\frac{y_1}{x_1-2}=-\frac{1}{28}$

设直线 $PQ:x=my+n$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+y^2=1\\ x=my+n\end{array}$

$x^2+4y^2-4=0$

$(my+n{)}^2+4y^2-4=0$

$(m^2+4)y^2+2mny+n^2-4=0$

$y_1{y}_2=\frac{n^2-4}{m^2+4}$

$y=\frac{x-n}{m}$

$x^2+4(\frac{x-n}{m}{)}^2-4=0$

$(x_1-2)(x_2-2)=\frac{4(\frac{2-n}{m}{)}^2}{1+\frac{4}{m^2}}=\frac{4(n-2{)}^2}{m^2+4}$

所以 $\frac{n^2-4}{4(n-2{)}^2}=\frac{n+2}{4(n-2)}=-\frac{1}{28}$

$\frac{n+2}{n-2}=\frac{-1}{7}$

$-n+2=7n+14$

$8n=-12$

$n=-\frac{12}{8}=-\frac{3}{2}$

解（2）②

$S_{\mathrm{△}PQB}=\frac{1}{2}(\frac{3}{2}+2)|y_1-y_2|$

$=\frac{1}{2}\times \frac{7}{2}\frac{\sqrt{4\times 4\times 1\times (m^2+4-\frac{9}{4})}}{4+m^2}$

$=\frac{28}{4}\frac{\sqrt{m^2+\frac{7}{4}}}{m^2+4}=\frac{7}{2}\frac{\sqrt{4m^2+7}}{m^2+4}$

令 $\sqrt{4m^2+7}=t,t>\sqrt{7}$

$m^2=\frac{t^2-7}{4}$

$S=\frac{7}{2}\frac{t}{\frac{t^2-7+16}{4}}=\frac{7}{2}\frac{t}{\frac{t^2+9}{4}}$

$=\frac{14t}{t^2+9}=\frac{14}{t+\frac{9}{t}}$

$⩽\frac{14}{2\sqrt{9}}=\frac{7}{3}$

当且仅当 $t=3$ 时取等。

TIP

看见 $k_{AP}=7k_{BQ}$ 这种形式，95% 概率要用椭圆第三定义来转化。

这种题型并不是非对称韦达题型，因为 $AP$ 与 $QB$ 直线并不是经由一点发射出的直线。