难度： 困难

标签： 圆锥曲线最值范围问题定点定值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\frac{x^2}{4}+y^2=1$

解（2）

$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2),A(2,0)$

$k_{AP}=\frac{y_1}{x_1-2},k_{AQ}=\frac{y_2}{x_2-2}$

$\frac{y_1}{x_1-2}\frac{y_2}{x_2-2}=\frac{1}{20}$

设直线 $PQ:x=my+n$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+y^2=1\\ x=my+n\end{array}$

$x^2+4y^2-4=0$

$(my+n{)}^2+4y^2-4=0$

$(m^2+4)y^2+2mny+n^2-4=0$

$y_1{y}_2=\frac{n^2-4}{m^2+4}$

$y=\frac{x-n}{m}$

$x^2+4(\frac{x-n}{m}{)}^2-4=0$

$(x_1-2)(x_2-2)=\frac{4+4\frac{(2-n{)}^2}{m^2}-4}{1+\frac{4}{m^2}}=\frac{4(n-2{)}^2}{m^2+4}$

所以 $\frac{n^2-4}{4(n-2{)}^2}=\frac{1}{20}$

$\frac{n+2}{4(n-2)}=\frac{1}{20}$

$5n+10=n-2$

$4n=-12$

$n=-3$

所以 $PQ:x=my-3$

所以根据割补法，

$S_{\mathrm{△}APQ}=\frac{1}{2}\times 5\times |y_1-y_2|$

$=\frac{5}{2}\times \frac{\sqrt{4\times 4\times 1\times 1^2(m^2+4-9)}}{m^2+4}$

$=\frac{5}{2}\times \frac{4\sqrt{m^2-5}}{m^2+4}$

$=10\frac{\sqrt{m^2-5}}{m^2+4}$

令 $\sqrt{m^2-5}=t,t>0$

$m^2=t^2+5$

所以 $S_{\mathrm{△}APQ}=10\frac{t}{t^2+9}$

$=10\frac{1}{t+\frac{9}{t}}$

$⩽10\frac{1}{2\sqrt{9}}$

$=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$

当 $t=3$ 时取等。