难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$

解（2）

$A_1(-3,0),M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$

$S(-x_1,-y_1),T(x_t,y_t),A_2(3,0)$

$k_{A_{1}S}=k_{A_{1}T}$

$\frac{y_1}{x_1-3}=\frac{y_t}{x_t+3}$

$\frac{y_2}{x_2-3}=\frac{y_t}{x_t-3}$

上面两式都取倒数，然后相加，

得，$\frac{x_1-3}{y_1}+\frac{x_2-3}{y_2}=\frac{2x_t}{y_t}$

$l_{OT}:x=\frac{1}{2}(\frac{x_1-3}{y_1}+\frac{x_2-3}{y_2})y$

设 $MN:x=my+n$

$\{\begin{array}{l}x=my+n\\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\end{array}$

$(5m^2+9)y^2+10mny+5n^2-45=0$

$\frac{x_1-3}{y_1}+\frac{x_2-3}{y_2}=\frac{m{y}_1+n-3}{y_1}+\frac{m{y}_2+n-3}{y_2}$

$=2m+(n-3)\frac{y_1+y_2}{y_1{y}_2}$

$y_1+y_2=\frac{-10mn}{5m^2+9}$

$y_1{y}_2=\frac{5n^2-45}{5m^2+9}$

$\frac{x_1-3}{y_1}+\frac{x_2-3}{y_2}=2m+\frac{-10mn}{5(n+3)}$

$=2m-\frac{2mn}{n+3}$

$=2m(1-\frac{n}{n+3})$

$=\frac{6m}{n+3}$

$l_{OT}:x=\frac{3m}{n+3}y$

$\{\begin{array}{l}x=\frac{3m}{n+3}y\\ x=my+n\end{array}$

$x=\frac{n+3}{3}x+n$

$0=\frac{n}{3}x+n=0$

$x=-3$

所以 $R$ 在直线 $x=-3$ 上运动，且 E 点横坐标就为 2，$y^2=\frac{25}{9}$，

$E(2,\frac{5}{3})$ 或 $(2,-\frac{5}{3})$$

TIP

参考链接。

TIP

• 联立 $A_{1}S$ 和 $A_{2}N$ 的方程求 $OT$ 的斜率时，直接跳过了求 $T$ 的坐标，而采取消常数项直接构造的办法，这大大减少了运算量。因为 $OT$ 直线过原点，所以他的直线方程只要知道了 k，就能写出来。
• 目标“$\mathrm{△}RBE$ 面积为定值”这种条件要会翻译。我们其实已知 B 是定点，还有一个定点 E，那就说明 $BE$ 的长度是固定的。也就说明 R 到 BE 的距离是固定的。
• 根据对称性，要猜出 R 点是某条直线 $x=xxx$ 上运动的。因为 A, B 点已经固定，而在 y 轴方向上没有固定的点，可以关于 x 轴对换，由此可知 R 点在一条竖直线上运动。所以我们只需证明这个点，然后就可以得出 BE 是垂直于 x 轴的，也就能求出 E 点了。