难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题切点弦方程双切线问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\frac{x_{1}x}{4}+y_{1}y=1$

$\frac{x_{2}x}{4}+y_{2}y=1$

$\frac{x_1{x}_0}{4}+y_1{y}_0=1$

$\frac{x_2{x}_0}{4}+y_2{y}_0=1$

所以 $l_{AB}:\frac{x_{0}x}{4}+y_{0}y=1$

解（2）

$l_{AB}:x_{0}x+4y_{0}y-4=0$

$x_0^2+4y_0^2=16$

$d_{O-AB}=\frac{4}{\sqrt{x_0^2+16y_0^2}}$

$d_{P-AB}=\frac{x_0^2+4y_0^2-4}{\sqrt{x_0^2+16y_0^2}}=\frac{12}{\sqrt{x_0^2+16y_0^2}}$

$AB=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+\frac{x_0^2}{16y_0^2}}|x_1-x_2|$

$S=\frac{1}{2}\frac{4}{\sqrt{x_0^2+16y_0^2}}AB+\frac{1}{2}\frac{12}{\sqrt{x_0^2+16y_0^2}}AB$

$=\frac{8}{\sqrt{x_0^2+16y_0^2}}AB$

$=\frac{8}{\sqrt{x_0^2+16y_0^2}}\sqrt{1+\frac{x_0^2}{16y_0^2}}|x_1-x_2|$

$=8\frac{1}{4|y_0|}|x_1-x_2|$

$|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{4\times 4\times 1\times 16y_0^2(4x_0^2+16y_0^2-16)}}{4x_0^2+16y_0^2}$

$=\sqrt{\frac{16\times 16y_0^2(16\times 4-16)}{16\times 4}}$

$=\frac{\sqrt{y_0^2\times 48}}{4}=\sqrt{\frac{y_0^2\times 48}{16}}$

$=\sqrt{3}|y_0|$

$S=\frac{8}{4y_0}\sqrt{3}{y}_0=2\sqrt{3}$

TIP

两个切点形成的方程，用同构的方法写出来。

两点确定一条直线。

若 $A{x}_1+B{y}_1+C=0$

且 $A{X}_2+B{y}_2+C=0$

则由点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 构成的直线为 $Ax+By+C=0$（将 $x_1,y_1$ 换为 $x,y$ 即可）

TIP

切线方程和切点弦方程，都满足换一半的方法。（切点弦方程实际上就是换一半）

只不过切线方程是用切点来换一半；

切点弦方程，是用两条切线的交点来换一半。

TIP

如果一个题是双切线问题，且用到了切点弦方程，那么必须用换一半方法（切点表示的方程）。