难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题硬解定理

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1(x\ne 3\mathrm{且}x\ne -3)$

解（2）法一

设 $N(x_N,y_N),C(x_1,y_1),D(x_2,y_2),A(-3,0),B(3,0)$

$k_{BN}=k_{BD}$

$\frac{y_N}{x_N-3}=\frac{y_2}{x_2-3}=\frac{y_2}{-6}$

$k_{AN}=k_{AC}$

$\frac{y_N}{x_N+3}=\frac{y_1}{6}$

$y_2=\frac{-6y_N}{x_N-3}$

$y_1=\frac{6y_N}{x_N+3}$

设过 P 点的切线为 $y=kx+m$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=kx+m\end{array}$

$(4+9k^2)x^2+18km+9m^2-36=0$

$\mathrm{\Delta }=4MN{B}^2(M{A}^2+M{B}^2-m^2)$

$=4\times 9\times 4\times 1(9k^2+4-m^2)=0$

$9k^2+4=m^2$

$y=kx+m$

$x=\pm 3$

$C(3,3k+m)$

$D(-3,-3k+m)$

所以

$\{\begin{array}{l}3k+m=\frac{6y_N}{x_N+3}\\ -3k+m=\frac{-6y_N}{x_N-3}\end{array}$

两式相乘得 $m^2-9k^2=4=\frac{-36y_N^2}{x_N^2-9}$

$1=\frac{-9y_N^2}{x_N^2-9}$

$x_N^2-9=-9y_N^2$

$\frac{x_N^2}{9}+y_N^2=1$

所以 N 点轨迹是一个椭圆，

$F_1(-2\sqrt{2},0)$

$F_2(2\sqrt{2},0)$

法一

设椭圆切线方程为 $y=kx+m$，与椭圆联立，用硬解定理求出 ${\mathrm{\Delta }}_x$

再然后 $y=kx+m$ 与 $x=\pm 3$ 联立，求出 $C,D$ 点，再用 $x_N,y_N$ 表示了 $C,D$ 点，得到

一个关于 $x_N$ 与 $m,k$ 的关系式；

一个关于 $y_N$ 与 $m,k$ 的关系式。

两式相乘，即是 N 点的轨迹方程。

法二

直接设出椭圆的切线方程 $\frac{x_{0}x}{9}+\frac{y_{0}y}{4}=1$，

然后用 $x_0,y_0$ 表示 $C,D$ 点；

再用 $N(x_N,y_N)$ 表示 $C,D$ 点；

得到

一个关于 $x_N,x_0$ 的关系式，

一个关于 $y_N,y_0$ 的关系式，

两式相乘，约去 $x_0,y_0$，即是 $x_N,y_N$ 的轨迹方程。