难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题双曲线圆过定点问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

最后算出来

$\frac{x^2}{3}-y^2=1$

TIP

当我们做渐近线有关的题时，要充分利用角关系，二倍角关系，利用正弦定理、余弦定理、二倍角公式来解题。

且我们要知道双曲线的焦点 F 到渐近线的距离为 b。

可以先算出 $tan\theta$（角），再算 $a,b$

解（2）

设切线为 $y=kx+m$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{3}-y^2=1\\ y=kx+m\end{array}$

$(1-3k^2)x^2-6kmx-3m^2-3=0$

$\mathrm{\Delta }=36k^2{m}^2+4(1-3k^2)(3m^2+3)=0$

所以 $m^2=3k^2-1$

$2x_1=\frac{6km}{1-3k^2}=\frac{3km}{-m^2}=\frac{-3k}{m}$

$y_1=\frac{-3k^2}{m}+m=-\frac{1}{m}$

$\{\begin{array}{l}y=kx+m,x=\frac{3}{2}\end{array}$

所以 $Q(\frac{3}{2},\frac{3}{2}k+m)$

设定点为 $(x_0,0)$

$\overrightarrow{GQ}=(\frac{3}{2}-x_0,\frac{3}{2}k+m)$

$\overrightarrow{GP}=(\frac{-3k}{m}-x_0,-\frac{1}{m})$

$\overrightarrow{GQ}\cdot \overrightarrow{GP}=0$

$(\frac{3}{2}-x_0)(\frac{-3k}{m}-x_0)+(\frac{3k}{2}+m)(-\frac{1}{m})=0$

$-\frac{9k}{2m}-\frac{3}{2}{x}_0+\frac{3k{x}_0}{m}+x_0^2-\frac{3k}{2m}-1=0$

$-\frac{6k}{m}-\frac{3}{2}{x}_0+\frac{3k{x}_0}{m}-1+x_0^2=0$

$\frac{3k}{m}(-2+x_0)+x_0^2-\frac{3}{2}{x}_0-1=0$

$\frac{3k}{m}(x_0-2)+\frac{1}{2}(2x_0^2-3x_0-2)=0$

$\frac{3k}{m}(x_0-2)+\frac{1}{2}(x_0-2)(2x_0+1)=0$

$(x_0-2)(\frac{3k}{m}+x_0+\frac{1}{2})=0$

所以过定点 $(2,0)$

TIP

斜率之积为 -1，与数量积为量是等价的。

可能数量积乘起来都是整式，不是分式，更好算一点。

斜率相乘为 -1，最后还是要将分母乘到另一边。

TIP

用 k，m 表示切点。

一个单切线和一个曲线的交点，完全可以解出这个切点（是 1 个重根）。用直线的 k、m 表示。