难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题双曲线三角形的四心

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\frac{c}{a}=\sqrt{3}$

$c^2=a^2+b^2$

$b=\sqrt{2}$

$c=a\sqrt{3}$

$c^2=3a^2=a^2+b^2=a^2+2$

$a^2=1$

$x^2-\frac{y^2}{2}=1$

解（2）

从直线 $x_{0}x-\frac{y_{0}y}{2}=1$ 这条直线得知，这条直线是与双曲线相切的。但是我们不用这条直线，而是自己正设或反设一条直线，因为它带入计算非常难算。

设 $A(x_1,\sqrt{2}{x}_1),B(x_2,-\sqrt{2}{x}_2)$（因为我们知道 A、B 点是在渐进线上的，所以可以将坐标点同一变量。）

下面翻译直线是与双曲线相切的这个条件。

设直线 AB：$y=kx+m$

$\{\begin{array}{l}{x}^2-\frac{y^2}{2}=1,2x^2-y^2-2=0\\ y=kx+m,2x^2-(kx+m{)}^2-2=0\end{array}$

$(2-k^2)x^2-2mkx-m^2-2=0$

$\mathrm{\Delta }=4m^2{k}^2+4(2-k^2)(m^2+2)=0$

$4m^2{k}^2+4(2m^2+4-k^2{m}^2-2k^2)=0$

$2m^2+4-2k^2=0$

$m^2+2=k^2$

AO 中点为 $(\frac{x_1}{2},\frac{\sqrt{2}{x}_1}{2})$

BO 中点为 $(\frac{x_2}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_2)$

$k_{AO}=\sqrt{2}$

$k_{BO}=-\sqrt{2}$

$AO$ 的中垂线：$y-\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_2=-\frac{1}{\sqrt{2}}(x-\frac{x_1}{2})$

$BO$ 的中垂线：$y+\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(x-\frac{x_2}{2})$

联立两条中垂线：

$\{\begin{array}{l}\sqrt{2}y-x_1=-x+\frac{x_1}{2}\\ \sqrt{2}y+x_2=x-\frac{x_2}{2}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}\sqrt{2}y+x=\frac{3x_1}{2}\\ \sqrt{2}y-x=-\frac{3x_2}{2}\end{array}$

联立方程，不是只有加法、减法才叫联立，相乘也是联立。

$2y^2-x^2=-\frac{9}{4}{x}_1{x}_2$

联立直线与渐进线：（得到用直线的 m,n 表示的 $x_1{x}_2,x_1+x_2$）

$\{\begin{array}{l}{x}^2-\frac{y^2}{2}=0(\mathrm{将}\mathrm{双}\mathrm{曲}\mathrm{线}\mathrm{右}\mathrm{边}\mathrm{的}1\mathrm{改}\mathrm{为}0，\mathrm{就}\mathrm{变}\mathrm{为}\mathrm{渐}\mathrm{近}\mathrm{线}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{了})\\ y=kx+m\end{array}$

联立的方程和上面直线与双曲线联立的方程差不多，只是这里没有了常数项。

$(2-k^2)x^2-2mkx-m^2=0$

$x_1{x}_2=\frac{-m^2}{2-k^2}=1$

所以 $2y^2-x^2=-\frac{9}{4}$

所以外心 M 的轨迹方程为 $4x^2-8y^2-9=0$

TIP

从这道题中，学会直线与双曲线相切时，条件该怎么翻译；

以及直线与渐近线相交的处理方式。

什么是双曲线的切线方程？椭圆也有切线方程吗？

圆锥曲线的切线方程

外心

三角形的四心：重心，外心，内心，垂心

在这里，用到外心的性质是三角形的三边的垂直平分线交于三角形的外心。