难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题椭圆非对称韦达定理双因式分解

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\frac{1}{2}=\frac{b}{a}，a=2b$

$\frac{1}{2}2a\cdot 2b=4,ab=2$

$2b^2=2,b^2=1$

$a^2=4$

$\frac{x^2}{4}+y^2=1$

解（2）法一，相乘，求比例是一个定值

设 $P(x_0,y_0)$

根据三点共线公式

$\frac{y_0}{x_0+2}=\frac{y_1}{x_1+2}$

$\frac{y_0-1}{x_0}=\frac{y_2-1}{x_2}$

令 $DE:y=\frac{1}{2}x+m$

$\frac{y_0}{x_0+2}=\frac{\frac{1}{2}{x}_1+m}{x_1+2}$

$\frac{y_0-1}{x_0}=\frac{\frac{1}{2}{x}_2+m-1}{x_2}$

两式相乘

$\frac{y_0^2-y_0}{(x_0+2)x_0}=\frac{\frac{1}{4}{x}_1{x}_2+\frac{1}{2}{x}_1(m-1)+\frac{1}{2}{x}_{2}m+m^2-m}{x_1{x}_2+2x_2}$

$=\frac{\frac{1}{4}{x}_1{x}_2+\frac{1}{2}m(x_1+x_2)-\frac{1}{2}(x_1+x_2)+\frac{1}{2}{x}_2+m^2-m}{x_1{x}_2+2x_2}$

$=\frac{1}{4}\frac{x_1{x}_2+2m(x_1+x_2)-2(x_1+x-2)+2x_2+4m^2-4m}{x_1{x}_2+2x_2}$

联立方程

$\frac{x^2}{4}+y^2=1,x^2+4y^2-4=0$

$y=\frac{1}{2}x+m,2y=x+2m$

$2x^2+4mx+4m^2-4=0$

$x_1+x_2=\frac{-4m}{2}=-2m$

$x_1{x}_2=2m^2-2$

所以

$\frac{y_0^2-y_0}{(x_0+2)x_0}=\frac{1}{4}\frac{2m^2-2-4m^2+4m+2x_2+4m^2-4m}{2m^2-2+2x_2}$

$=\frac{1}{4}$

所以 $4y_0^2-4y_0-x_0^2-2x_0=0$

$4y_0^2-4y_0-x(x_0+2)=0$

$(2y_0+x_0)[2y_0-(x_0+2)]=0$

$y_0=-\frac{1}{2}{x}_0$ 或 $y_0=\frac{1}{2}(x_0+2)$（舍）

所以 P 点轨迹方程为 $y=-\frac{1}{2}x$

解（2）法二，配凑相加

$\{\begin{array}{l}\frac{y_0}{x_0+2}=\frac{\frac{1}{2}(x_1+2)+m-1}{x_1+2}=\frac{1}{2}+\frac{m-1}{x_1+2}\\ \frac{y_0-1}{x_0}=\frac{1}{2}+\frac{m-1}{x_2}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}\frac{2y_0-x_0-2}{2(x_0+2)}=\frac{m-1}{x_1+2}\\ \frac{2y_0-x_0-2}{2x_0}=\frac{m-1}{x_2}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}\frac{2(x_0+2)}{2y_0-x_0-2}=\frac{x_1+2}{m-1}\\ \frac{2x_0}{2y_0-x_0-2}=\frac{x_2}{m-1}\end{array}$

两式相加

$\frac{4x_0+4}{2y_0-x_0-2}=\frac{x_1+x_2+2}{m-1}$

联立直线方程：

$x^2+4y^2-4=0$

$x^2+(x+2m{)}^2-4=0$

$2x^2+2mx+4m^2-4=0$

$x_1+x_2=-2m$

所以 $\frac{4x_0+4}{2y_0-x_0-2}=\frac{2-2m}{m-1}=\frac{2(1-m)}{m-1}=-2$

$2x_0+2=-2y_0+x_0+2$

$x_0=-2y_0$

所以 $y_0=-\frac{1}{2}{x}_0$

TIP

既不能分离常数，结构也不对称取倒数也没用时，

1. 可以事实相乘两式，然后求比例是一个定值
2. 还可以进行配凑，观察能否出现对称结构或出现 $x_1+x_2,x_1{x}_2$ 这种结构