难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题椭圆非对称韦达定理

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$C:\frac{x^2}{4}+y^2=1$

解（2）

$k=1,y=x+2$

$\frac{x^2}{4}+y^2=1$

$y=x+2$

$x^2+4y^2-4=0$

$x^2+4(x+2{)}^2-4=0$

$5x^2+16x+12=0$

$x_1{x}_2=\frac{12}{5},x_1+x_2=\frac{-16}{5}$

$S=\frac{1}{2}\times 2\times |x_1-x_2|$

$=|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{a}$

$=\frac{\sqrt{4\times 4\times 1\times 1(5-4)}}{4+1}$

$=\frac{4}{5}$

解（3）

设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$

$k_{M{B}_1}=\frac{y_1+1}{x_1},k_{N{B}_2}=\frac{y_2-1}{x_2}$

设交点 $T(x_0,y_0)$

$\frac{y_1+1}{x_1}=\frac{y_0+1}{x_0}$

$\frac{y_2-1}{x_2}=\frac{y_0-1}{x_0}$

不要直接相加，左边的式子不是对称的，直接相加会出现非对称韦达。

$l_{MN}:y=kx+2$

$\frac{k{x}_1+3}{x_1}=\frac{y_0+1}{x_0}$

$\frac{k{x}_2+1}{x_2}=\frac{y_0-1}{x_0}$

$k+\frac{3}{x_1}=\frac{y_0+1}{x_0}$

$k+\frac{1}{x_2}=\frac{y_0-1}{x_0}$

$3k+\frac{3}{x_2}=\frac{3(y_0-1)}{x_0}$

乘 3 后，再两式相加

$4k+3(\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2})=\frac{4y_0-2}{x_0}$

$x^2+4y^2-4=0$

$(4k^2+1)x^2+16kx+12=0$

$x_1+x_2=\frac{-16k}{4k^2+1}$

$x_1{x}_2=\frac{12}{4k^2+1}$

$4k+3\frac{-16k}{12}=\frac{4y_0-2}{x_0}$

$4k-4k=0=\frac{4y_0-2}{x_0}$

$y_0=\frac{1}{2}$

所以 $T$ 在 $y=\frac{1}{2}$ 上。

TIP

处理非对称韦达。