难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题椭圆椭圆的第三定义斜率之积问题韦达求点法

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\overrightarrow{AG}=(a,1),\overrightarrow{GB}=(a,-1)$

$\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{GB}=a^1-1=8$

$a^2=9$

$E:\frac{x^2}{9}+y^2=1$

解（2）法一，转化为斜率之积问题

设 $k_{AC}=k_1,k_{AD}=k_2,k_{DB}=k_3$

$k_2{k}_3=-\frac{b^2}{a^2}=-\frac{1}{9}$

设点 $P(6,p)$

$k_1=\frac{p}{9},k_3=\frac{p}{3}$

$\frac{k_3}{k_1}=3$

所以 $k_3=3k_1$

所以 $3k_2{k}_1=-\frac{1}{9}$

$k_1{k}_2=-\frac{1}{27}$

设 $C(x_1,y_1),C(x_2,y_2)$

$k_1{k}_2=\frac{y_2}{x_2+3}\frac{y_1}{x_1+3}=\frac{y_1{y}_2}{(x_2+3)(x_1+3)}=-\frac{1}{27}$

接下来需要设直线 CD 方程，然后联立 CD 与椭圆方程。设之前，想想，正设好还是反设好？

一、如果反设，能很容易得出关于 y 的二次方程，也就很容易求出 $y_1{y}_2,(y_1+y_2)$，求 $(x_2+3)(x_1+3)$ 只需把关于 x 的二次方程表示出来，然后用点乘双根法也很容易求出来，计算量能接受；

二、如果正设，能很容易得出关于 x 的二次方程，但我们用点乘双根法其实就很容易把 $(x_2+3)(x_1+3)$ 求出来，所以导致求 $y_1{y}_2$ 还要花一点功夫。

且实际发现，正设会有 2 个解，要舍去一个解；反设可以直接把答案求出来。所以反设。

设直线 CD 为 $x=my+n$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{9}+y^2=1\\ x=my+n\end{array}$

$x^2+9(\frac{x-n}{m}{)}^2-9=0$

$(my+n{)}^2+9y^2-9=0$

$(m^2+9)y^2+2mny+n^2-9=0$

$y_1{y}_2=\frac{n^2-9}{m^2+9}$

$y=\frac{x-n}{m}$

$x^2+9(\frac{x-n}{m}{)}^2-9=0$

所以 $(x_2+3)(x_1+3)=\frac{9(\frac{3+n}{m}{)}^2}{1+\frac{9}{m^2}}=\frac{9(n+3{)}^2}{m^2+9}$

$-\frac{1}{27}=\frac{n^2-9}{9(n+3{)}^2}=\frac{(n+3)(n-3)}{9(n+3{)}^2}$

$-\frac{1}{27}=\frac{n-3}{9(n+3)}$

$-\frac{1}{3}=\frac{n-3}{n+3}$

$-3n+9=n+3$

$6=4n$

$n=\frac{3}{2}$

解（2）法二，利用韦达定理，把点坐标表示出来

因为直线过的定点在坐标轴上，所以坐标点可以快速求出来。

设 AC 为 $x=my-3$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{9}+y^2=1\\ x=my-3\end{array}$

$(my-3{)}^2+9y^2-9=0$

$(m^2+9)y^2-6my=0$

$y_1+y_2=\frac{6m}{m^2+9}$

$y_C=\frac{6m}{m^2+9}$

$x_C=\frac{6m^2}{m^2+9}-3=\frac{3m^2-27}{m^2+9}$

求 P 点坐标，$P(6,\frac{9}{m})$

$k_{BP}=\frac{3}{m}$

正设直线与反设直线的 x、y 前的系数互为倒数

所以直线 BD 可以表示为 $x=\frac{m}{3}y+3$

$\{\begin{array}{l}{x}^2+9y^2-9=0\\ x=\frac{m}{3}y+3\end{array}$

$(\frac{m}{3}y+3{)}^2+9y^2-9=0$

$(m^2+81)y^2+18my=0$

$y_1+y_2=\frac{-18m}{m^2+81}$

$y_D=\frac{-18m}{m^2+81}$

$x_D=\frac{m}{3}\frac{-18m}{m^2+81}+3$

$=\frac{-6m^2+3m^2+243}{m^2+81}$

$=\frac{-3m^2+243}{m^2+81}$

由对称性可知，CD 的定点在 x 轴上，所以设定点为 $(t,0)$

$\frac{y_D}{x_D-t}=\frac{y_C}{x_C-t}$

$\frac{\frac{-18m}{m^2+81}}{\frac{-3m^2+243-t(m^2+81)}{m^2+81}}=\frac{\frac{6m}{m^2+9}}{\frac{3m^2-27-t(m^2+9)}{m^2+9}}$

$\frac{-18m}{-3m^2+243-t(m^2+81)}=\frac{6m}{3m^2-27-t(m^2+9)}$

$-3m^2+243-t(m^2+81)=-9m^2+81+3t(m^2+9)$

$6m^2+162-t(m^2+81+3m^2+27)=0$

$6m^2+162=t(4m^2+108)$

$t=\frac{6m^2+162}{4m^2+108}=\frac{3}{2}$

所以过定点 $(\frac{3}{2},0)$

TIP

有时候正设、反设直线确实会对是否好算产生一定影响。所以我们可以在得出 $k_1{k}_2=K$ 或 $k_1+k_2=K$ 之后，得到全是 $x_1,y_1,x_2,y_2$ 的关系式后再联立直线与椭圆方程，看是正设直线简单还是反设直线简单。

TIP

当写出 $(x_D,y_D),(x_C,y_C)$ 后，

一、有的人直接设直线方程。这种方法因为式子太复杂，简直是求死

二、推荐：我们先猜测定点在哪个轴上，再证明是正确的。

运用对称性看看。刚开始 P 在上方，用极限的思想，定点应该在 x 轴上。

在圆锥曲线中证明定点时，对称性是个利器。

高考给了我们两个点的坐标非常难看，这两个点，形成的直线过的定点，98% 在坐标轴上。

然后再通过证明定点分割的两条直线的斜率是相等的。