难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题椭圆斜率和问题齐次式硬解定理双因式分解点乘双根法

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知椭圆 C： $\begin{array}{r}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\end{array}$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过点 $A(2,1)$.

（1）求 C 的方程；

（2）点 M，N 在 C 上，且 $AM\perp AN,AD\perp MN,D$ 垂足。证明：存在定点 $Q$，使得 $|DQ|$ 为定值。

解（1）

$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{c^2}{a^2}=\frac{1}{2}$

$2c^2=a^2=b^2+c^2$

$b^2=c^2$

$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$

$\frac{4}{b^2+c^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{2}{b^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{3}{b^2}=1$

$b^2=c^2=3$

$a^2=6$

C: $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$

解（2）

要证 MN 直线过定点，所以设直线 MN 为 $l_{MN}:y=kx+m$

$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),A(2,1)$

2 条直线的夹角为直角，有两种表达方式，1 是斜率之积为 -1，而是向量的数量积为 0.

$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AN}=0$

$\overrightarrow{AM}=(x_1-2,y_1-1)$

$\overrightarrow{AN}=(x_2-2,y_2-1)$

$(x_1-2)(x_2-2)+(y_1-1)(y_2-1)=0$

然后上面这个式子全部用 $x_1{x}_2,x_1+x_2,y_1+y_2,y_1{y}_2$ 来表示，后面再联立椭圆与直线方程，得到一个 2 次方程，利用韦达定理可以得出 $x_1{x}_2,x_1+x_2,y_1+y_2,y_1{y}_2$ 的表示式。

联立：

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1\to x^2+2y^2-6=0\\ y=kx+m\to x^2+2(kx+m{)}^2-6=0\end{array}$

观察 $x$ 的不同次的系数，$x^2$ 的系数合在一起，$x$ 的系数合在一起

$(2k^2+1)x^2+4mkx+2m^2-6=0$

常规做法是，利用韦达定理，表示出：

$x_1+x_2=\frac{-4km}{2k^2+1},x_1{x}_2=\frac{2m^2-6}{2k^2+1}$

又 $E_1=(x_1-2)(x_2-2)=x_1{x}_2-2(x_1+x_2)+4$，将 $x_1+x_2$ 和 $x_1{x}_2$ 代入 $E_1$ 中，经过通分，得到一个式子：

$E_1=\frac{2m^2-6}{2k^2+1}+\frac{8km}{2k^2+1}+4$，进行通分……

实践证明，这一步非常容易算错；

所以使用一个更简单的方法，点乘双根法。 当然还有硬解法等方法，但这里不用这些。

$(x_1-2)(x_2-2)=x_1{x}_2-2(x_1+x_2)+4$

$=\frac{4(2k^2+1)+8mk+2m^2-6}{2k^2+1}$

$=\frac{8k^2+8mk+2m^2-2}{2k^2+1}$

接下来看 $E_2=(y_1-1)(y_2-1)$ 能变成什么样子

一种方法是根据 $E_2=y_1{y}_2-(y_1+y_2)+1$，将 $y=kx+m$ 代入 $E_2$，全部变为 $x_1,x_2$ 的式子。

但是这样其实很复杂，很容易出错……

这里同样可以使用点乘双根法。但注意联立得出的方程需要关于 y 的方程。

我们正设的直线方程为 $y=kx+m$，那么反设的直线方程为 $x=\frac{y-m}{k}$

$\{\begin{array}{l}x=\frac{y-m}{k}\\ x^2+2y^2-6=0\end{array}$

$\frac{(y-m{)}^2}{k^2}+2y^2-6=0$

根据点乘双根法，

$(y_1-1)(y_2-1)=\frac{\frac{(1-m{)}^2}{k^2}+2-6}{\frac{1}{k^2}+2}=\frac{1-2m+m^2-4k^2}{2k^2+1}$

所以

$E_1+E_2$

$=4k^2+8mk+3m^2-2m-1$

$=4k^2+8mk+(m-1)(3m+1)$

$=(2k+m-1)(2k+3m+1)=0$

所以

一、$2k+m-1=0$

$m=1-2k$

$y=kx+1-2k=k(x-2)+1$

所以直线过定点 $(2,1)$，不符题意，舍去。

什么叫直线过定点？$k$ 是不确定的，直线可以旋转，但都经过那个定点。

当 $x=2$ 时，k 不管为啥，y 恒为 1。

所以求直线的定点，就将斜率 k 提出来，求系数的零点。

二、$2k+3m+1=0$

$m=\frac{-1-2k}{3}$

$y=kx-\frac{1+2k}{3}$

$=k(x-\frac{2}{3})-\frac{1}{3}$

所以直线过定点 $G(\frac{2}{3},-\frac{1}{3})$

当我们看见直角时，想想直角所对的边的 2 个点是不是定点，如果是定点，那么直角所在的点在以 2 个定点为直径的圆上

所以 D 在以 AG 为直径的圆上，

$Q(\frac{4}{3},\frac{1}{3})$ 为圆心，此时 $|DQ|$ 为定值。

TIP

这道题有点像曾经经常喜欢考、非常流行经典的题目：过椭圆上的一个定点 A 作 2 条直线 AM，AN；M，N 为直线与椭圆的交点。

这 2 条直线的斜率和或者斜率积为定值，要证明直线 MN 过定点。

TIP

这道题没有韦达定理！用的是点乘双根法！

TIP

遇到这种 $(x_1-x_0)(x_2-x_0)$ 这种乘法 $\times$ 式子，需要使用点乘双根法

点乘双根法

假设有 2 次函数 $f(x)=A{x}^2+Bx+C$

$f(x)$ 有 2 根 $x_1,x_2$

那么式子

$(x_1-x_0)(x_2-x_0)=x_1{x}_2-x_0(x_1+x_2)+x_0^2$

$=\frac{C}{A}+\frac{B{x}_0}{A}+x_0^2$

$=\frac{A{x}_0^2+B{x}_0+C}{A}$

$=\frac{f(x_0)}{A}$

如果遇到的是 $(x_1+x_0)(x_2+x_0)$ 这种式子，那么

$(x_1+x_0)(x_2+x_0)=\frac{f(-x_0)}{A}$

双因式分解

当我们遇到 $4k^2+8mk+3m^2-2m-1$ 这种又含 $k^2,m^2$，又含 $km$ 时，

需要进行两次因式分解，得到一个因式。