高数知识

泰勒公式

什么是泰勒公式？因为有些函数我们是算不出来值的，比如 $e^{0.4}$，泰勒公式就是对某种函数在 $x_0$ 处的一个模拟、拟和。

它的公式如下

在 $x=x_0$ 处

$$f(x)=\frac{f(x_0)}{0!}(x-x_0{)}^0+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0{)}^1+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n}{n!}+R_n(x)$$

用求和符号记忆更方便，

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$$

R_n(x) 表示一定的误差

TIP

$x$ 越接近 $x_0$，函数值就越精确！一般误差小于等于 0.1，即 $|x-x_0|⩽0.1$ 就可以用较少的项数来模拟。

麦克劳林公式

麦克劳林公式为在 $x_0=0$ 时的泰勒公式。

$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{3!}{x}^3+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$$

用求和符号记忆更方便，

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$$

常用的麦克劳林公式

TIP

如果忘记了，可以自己推一下，很简单！

e^x

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+...$$

项数越多，函数模拟得越精确。一般前三项模拟得就比较准确了。

ln(1+x)

$$ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...$$

为什么没有 $lnx$ 的麦克劳林公式？

因为 $lnx$ 的定义域不包含 0，不能在 $x=0$ 处展开。

根号 1+x

$\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2+\frac{1}{16}{x}^3+...$

帕德逼近

可以看出泰勒公式是以多项式的形式来拟和某个函数。这在某些情况下可能会比较复杂，在这个背景下出现了帕德逼近。它用分式形式来拟和某个函数。

值得注意的是，帕德逼近考试并不会直接考。题目中可能给出了一个不等式，而这个不等式其实是一个帕德逼近。

例题

例题 1

例题 1