计算

有些题的计算其实是需要技巧的，否则计算量会变得特别大，导致出错率大大增加！

我们计算时还是有一些注意事项易错点的，尽量避开这些易错点，能让计算正确大大增加！

疑问

当计算感觉不熟悉、或者感觉很复杂时，为啥下笔很轻？

我感觉就算计算感觉不熟悉、或者感觉很复杂时，至少字要写清楚……

计算技巧

技巧一

化简时，尽可能每步化简都是有目的的化简，而不是将上一步的式子原封不动的抄过来。

计算注意点

两边同乘一个分数或整数

$2 v^{2} = \frac{1}{4} g h$ ，

两边同乘 $\frac{1}{2}$

得 $v^{2} = \frac{g h}{8}$

不要这样算：

$2 v^{2} = \frac{1}{4} g h$ ，

两边同除 $2$ 。尽量用乘法，而不是除法。当算快的时候，容易算出，比如变成

$v^{2} = \frac{g h}{2}$ （错误）

求若干项数的比值与倒数的比值

若是两个数的比 $\frac{1}{a} : \frac{1}{b} = b : a$ 。

但是，若是超过两个数的比， $\frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c} \neq c : b : a$

计算分式

下面的式子如何表示出 $R$ ？

m g_{0} = m g + m \frac{4 π^{2}}{T^{2}} R

可以先将 $m$ 消掉，然后 $g$ 移到左边，再然后两边同乘 $R$ 的翻转系数。

$R = \frac{T^{2} (g_{0} - g)}{4 π^{2}}$

如何快速计算出两绳物体之间的质心位置？

求 $m_{1}$ 和 $m_{2}$ 的质心在哪里？

根据杠杆原理， $m_{1} x_{1} = m_{2} x_{2}$ ，

且 $x_{1} + x_{2} = L$

我们可以得出结论 $x_{1} = \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} L$ （ $x_{1}$ 为质心左边部分的长度）

$x_{2} = \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} L$

计算分式等式中的某一项的分子或分母

比如像下面这样，要表示出 $ω$ 的值，可以对角相乘，两项是相等的。

然后要表示哪一项，就把另外一项除过去。

$\frac{R}{v} = \frac{n \cdot 2 π}{ω}, n = 1, 2, 3. . .$

$ω = \frac{2 n π v}{R}, n = 1, 2, 3. . .$

14 乘以 4 等于 56

$14 \times 4 = 56$

而不是 $64$ .

当一个数非常大，尾数全是零的时候

可以用科学计数法来记录小数，比如这道题：

70 度角的余角是 20 度，而不是 30 度！

别像这里的第 4 题一样，算错了！

平方公式，注意不要忘记将每项平方！

$(2 - a)^{2} = 4 - 4 a + a^{2}$ ，而不是 $(2 - a)^{2} = 2 - 4 a + a^{2}$ ！

$s i n 45^{\circ}$ 或 $c o s 45^{\circ}$ 的值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

而不是 $\sqrt{2}$

如何一步解出二元一次方程？

假设有方程 ${\begin{cases} 2 x + \frac{3}{2} y = 6 ① \\ 3 x + 4 y = 7 ② \end{cases}$ ，该如何一步就能解出答案呢？

可以将某个未知数全移到一侧，像这样

${\begin{cases} 3 x = 7 - 4 y ① \\ 4 x = 12 - 3 y ② \end{cases}$

然后 $\frac{①}{②}$ ，解出 $y = - \frac{8}{7}$

再算出 $x = \frac{27}{7}$ 。

再比如这里的第二道例题。

两个式子相加，注意左边加左边，右边加右边

比如

${\begin{cases} T_{2} - m_{1} g s i n 37^{\circ} = m_{1} a ① \\ T_{1} - T_{2} = 600 \times 0.02 a = 12 a ② \end{cases}$

两式相加得

$T_{1} - m_{1} g s i n 37^{\circ} = m_{1} a + 12 a$

平方的单位

$(10 k m)^{2} \neq 100 k m$

$(10 k m)^{2} = (10^{4})^{2} = 10^{8} = 10^{5} k m$

当计算时有很多科学计数法表示的数

那么应统一用科学计数法表示，因为一般这时候有很多小数点，很容易就把小数点后的位数搞错！

小数点错误一

$I_{R_{1}} = \frac{U}{R_{1}} = \frac{2.88}{12} = 2.4$ （错误！）

$I_{R_{1}} = \frac{U}{R_{1}} = \frac{2.88}{12} = 0.24$ （正确！）

小数点的位数，注意不要少或多！

小数点错误二

错误： $P_{热} = I^{2} R_{发} = 400 \times 2.5 = 100 W$

$400 \times 2.5 = 4 \times 2.5 \times 100 = 10 \times 100 = 1000 W$

这种又有很多零，又有小数的，容易弄错零的个数。可以现将 0 提出来，或则是小数点先提出来，最后计算小数点应该在哪里。

保留有效数字

假设有一个数 1100，将它保留三位有效数字，该如何表示？

对于数 1100，要将其保留三位有效数字，我们需要考虑这个数的实际大小和有效数字的规则。有效数字是指从数的左边第一个非零数字起，到末位数字止的所有数字。对于整数 1100，其有效数字已经是全部数字，即 1、1、0、0。但题目要求保留三位有效数字，因此我们需要进行四舍五入或截断处理。观察 1100，其第四位有效数字（从左边数起）是 0，且小于 5，因此按照四舍五入的规则，前三位有效数字 110 不会改变。但通常，在表示保留有效数字时，如果末尾是 0，这个 0 是需要保留的，以表明该数的精度。所以，将 1100 保留三位有效数字后，应表示为 1.10×10^3。这里使用了科学记数法来表示，既保留了必要的精度，又符合了有效数字的规则。注意：虽然直接写 110 也可以看作是保留了三位有效数字（因为末尾的 0 被省略了，但这在大多数情况下是可以接受的），但使用科学记数法 1.10×10^3 更为严谨和明确。

科学计数法要求第一位不为零吗？

是的，科学计数法（Scientific Notation）要求第一位（即有效数字的第一位）不为零。在科学计数法中，一个数被表示为 $a \times 10^{n}$ 的形式，其中 1≤a<10，n 是整数。这里的 a 就是有效数字部分，它必须至少有一位且第一位不为零。

科学计数法的这种表示方法有助于简化大数或小数的书写，使得数值的读取和比较变得更加容易。例如，地球到太阳的平均距离约为 149,597,870,700 米，这可以表示为 $1.495978707 \times 10^{11}$ 米，这样看起来就更加简洁明了。如果 a 的第一位可以为零，那么科学计数法就失去了其简化表示的意义。

单位换算

$1 m = 100 c m = 1000 m m$

关于有很多负号的计算

如果遇到很多负号的计算，可以先不计算，多写一个小括号先放着，在下一步再进行化简。

关于 e 的求导

假如式子中带有 $e^{- 1}$ 这种指数为负数的 e，那么也最好不要写成分式。不然有分式不好写，而且也不好看。

比如题目是：证明 $x > 1, x e^{- x} - (2 - x) e^{x - 2} > 0$

就不要改写成 $x > 1, \frac{x}{e^{x}} - \frac{2 - x}{e^{2 - x}} > 0$

案例一

$x \in R, y = \frac{x + 2}{2 \sqrt{x^{2} + 2} - 2}$ ，求 y 的值域。

解：

技巧：

分子变为 1 项

我们要去掉根号，应该想到用平方。如果直接将分母乘到左边，再平方，那么式子会变得相当复杂，因为有一个三项的平方。

$2 y \sqrt{x^{2} + 2} - 2 y = x + 2$

$2 y \sqrt{x^{2} + 2} = x + 2 + 2 y$

$4 y^{2} (x^{2} + 2) = (x + 2 + 2 y)^{2}$

如果我们令分子为 $m = x + 2$

则 $y = \frac{m}{2 \sqrt{m^{2} - 4 m + 6} - 2}$ ，

这样就变为 $2 y \sqrt{m^{2} - 4 m + 6} = m + 2 y$ ，之后再平方计算就简便了，出错率降低到最小。

整体计算法

因为我们我们要求的是 $y$ 的范围，而 $y$ 前面带有系数 $2$ ，如果我们每次平方、加减时总要考虑系数，其实也无形中增加了计算量。

我们可以将 $2 y$ 视为一个整体，先求出 $2 y$ 的范围，最后除以 2 就是真正的 y 的范围了。

遇到已经提取出公因式的项，一般不用再打开

就像这样

$(t^{2} - 4 t + 6) y^{2} = t^{2} + 2 y t + y^{2}$

长除法

有时候我们需要对高次的式子进行因式分解，这时候就可以使用长除法。

什么是长除法呢？

我们先从除法说起。

假设我们要计算 $232 \div 11$ ，会像下面这样计算：

而对于高次式子，也是一样的，只不过数字变成了式子。

对于高次式子，我们只要知道其中一个因式，就是根据这个因式算出其它的因式。

比如有高次式子 $x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$ ，我们可以代入尝试一下，会发现 $(x - 1)$ 是这个式子的一个因式。这时候我们使用常数法，就像除法一样：

计算技巧

案例 1

计算 $(\frac{5}{4})^{\frac{3}{2}}$ ，可以将其拆分，变为

$= \frac{5}{4} \times (\frac{5}{4})^{\frac{1}{2}} = \frac{5}{4} \times \frac{\sqrt{5}}{2}$

$= \frac{5 \sqrt{5}}{8}$

案例 2

直接将括号展开，不用把负号移到右边去，再移过来。

$49 - 4 (16 - r^{2}) > 0$

$49 - 64 + 4 r^{2} > 0$

$4 r^{2} > 15$

案例 3

遇到像这种 $\frac{2 x_{0} + 2}{2 x_{0} - 3} + 2 x_{0} - 2$ 式子求最值，可以使用分离常数 + 配凑 + 均值不等式快速求出最值，相较与换元换来换去，更加快速简便。

$= \frac{x_{0} + 1}{x_{0} - 1} (1 - \frac{1}{3 - 2 x_{0}}) - 3 + 2 x_{0} + 1$

$= \frac{x_{0} + 1}{x_{0} - 1} \frac{2 x_{0} - 2}{2 x_{0} - 3} + 2 x_{0} - 2$

$= \frac{2 x_{0} + 2}{2 x_{0} - 3} + 2 x_{0} - 2$

$= \frac{2 x_{0} - 3 + 5}{2 x_{0} - 3} + 2 x_{0} - 2$

$= 1 + \frac{5}{2 x_{0} - 3} + 2 x_{0} - 3 + 1$

$⩾ 2 + 2 \sqrt{5}$

案例 4

合并同类项，观察系数。不是将括号打开，再一项一项合并；而是从前到后一步到位，先合并高次项的系数，再合并低次项的系数。

$\frac{(1 + k_{1}^{2}) (16 k_{1}^{2} b^{2} + a^{2}) + (b^{2} + a^{2} k_{1}^{2}) (16 k_{1}^{2} + 1)}{(b^{2} + a^{2} k_{1}^{2}) (16 k_{1}^{2} b^{2} + a^{2})} = \frac{5}{a^{2} b^{2}}$

把 a、b 当作常数， $k_{1}$ 当作变量。合并同类项

$\frac{k_{1}^{4} (16 b^{2} + 16 a^{2}) + k_{1}^{2} (a^{2} + 16 b^{2} + a^{2} + 16 b^{2}) + a^{2} + b^{2}}{16 k_{1}^{4} (a^{2} b^{2}) + k_{1}^{2} (a^{4} + 16 b^{4}) + a^{2} b^{2}} = \frac{5}{a^{2} b^{2}}$

所以 $\frac{16 b^{2} + 16 a^{2}}{16 a^{2} b^{2}} = \frac{2 a^{2} + 32 b^{2}}{a^{4} + 16 b^{4}} = \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} b^{2}} = \frac{5}{a^{2} b^{2}}$

案例 5：判断二次函数的对称轴是负还是正

$求 = 2 - t^{2} - t$

一次性、二次项的系数符号同号，所以对称轴为负半轴。

$- \frac{b}{2 a} = - \frac{1}{2}$

$f (t)_{m a x} = f (- \frac{1}{2}) = 2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{9}{4}$

同理，若一次性、二次项的系数符号不同号，则对称轴为正，在 x 的正半轴。

案例 -6

开根号取绝对值。

如下：

$求 = \frac{2}{\sqrt{m^{2} + 1}} + \frac{2 | m |}{\sqrt{m^{2} + 1}}$

$= 2 \frac{1 + | m |}{\sqrt{m^{2} + 1}}$

$= 2 \sqrt{\frac{1 + 2 | m | + m^{2}}{m^{2} + 1}}$

$= 2 \sqrt{1 + \frac{2 | m |}{m^{2} + 1}} = 2 \sqrt{1 + \frac{2}{| m | + \frac{1}{| m |}}} ⩽ 2 \sqrt{1 + \frac{2}{2}} = 2 \sqrt{2}$ ，当 $m = \pm 1$ 时取等。

案例 -7

应该分离常数，这样就不会出现 m=0 时，分母为零的情况，就不需要分类讨论。

如下：

$\frac{(1 + λ)^{2}}{λ} = - \frac{4 m^{2}}{3 m^{2} + 4}$

$= - \frac{4 m^{2} + \frac{16}{3} - \frac{16}{3}}{3 m^{2} + 4}$

$= - (\frac{4}{3} - \frac{4}{3 (3 m^{2} + 4)})$

$= \frac{4}{3 (3 m^{2} + 4)} - \frac{4}{3} \in (- \frac{4}{3}, - 1], (m^{2} ⩾ 0)$

$\frac{(1 + λ)^{2}}{λ} \in (- \frac{4}{3}, - 1]$

如果不这样做，直接分子、分母同除 m^2，那么会出现 m=0，分母为零的情况，需要分类讨论。

案例 -8

$a + b = \frac{b}{a}$ 中， $a, b$ 是能够互相用 a 或 b 表示的。

错误案例（尽量不要再犯！）

案例 1

错误： $- \frac{6}{x} + \frac{9}{x} = - \frac{3}{x}$

正确： $- \frac{6}{x} + \frac{9}{x} = \frac{3}{x}$

错误原因：正负的符号没搞清楚，把第一项的符号认为是结果的符号，荒谬！

案例 2

错误： $[e^{x} (x - 1)]^{'} = e^{x} (x - 1) - e^{x} = e^{x} (x - 2)$

正确： $[e^{x} (x - 1)]^{'} = e^{x} (x - 1) + e^{x} = e^{x} x$

错误原因：乘法求导是加，不是减！左导右不导 + 加 + 左不导右导！！

案例 3

小数乘以一个 10 的倍数，把 0 给忽律了。！！不好忽略！

错误： $0.008 \times 60 = 0.048$

正确： $0.008 \times 60 = 0.48$

案例 4（韦达定理公式记反）

$a x^{2} + b x + c = 0$

错误： $x_{1} + x_{2} = \frac{c}{a}$

正确： $x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}$

案例 5（系数忘写）

对于式子 $3 (m_{1} y + x_{0})^{2} + 4 y^{2} - 24 = 0$

错误： $(m_{1}^{2} + 4) y^{2} + 2 m_{1} x_{0} y + x_{0}^{2} - 24 = 0$

正确： $(3 m_{1}^{2} + 4) y^{2} + 6 m_{1} x_{0} y + 3 x_{0}^{2} - 24 = 0$

一定要注意这个系数要乘。可以在计算完后检查一下系数有没有乘

案例 5.1（系数忘乘）

口算的时候，应当先乘系数。

$3 (m y - 1)^{2} + 4 y^{2} - 12 = 0$

错误： $(3 m^{2} + 4) y^{2} - 6 m y - 11 = 0$

正确： $(3 m^{2} + 3) y^{2} - 6 m y - 9 = 0$

案例 6（分离常数被分离错了）

想清楚哪些能整除，哪些不能整除。

错误：

$= \frac{4 + 4 k_{1}^{2}}{4 k_{1}^{2} + 1} + \frac{4 + 4 k_{2}^{2}}{4 k_{2}^{2} + 1}$

$= 3 + \frac{1}{4 k_{1}^{2} + 1} + \frac{1}{4 k_{2}^{2} + 1}$

正确：

$= \frac{4 + 4 k_{1}^{2}}{4 k_{1}^{2} + 1} + \frac{4 + 4 k_{2}^{2}}{4 k_{2}^{2} + 1}$

$= \frac{3 + 1 + 4 k_{1}^{2}}{4 k_{1}^{2} + 1} + \frac{3 + 1 + 4 k_{2}^{2}}{4 k_{2}^{2} + 1}$

$= 1 + 1 + \frac{3}{4 k_{1}^{2} + 1} + \frac{3}{4 k_{2}^{2} + 1}$

案例 7（三点共线符号写错）

以后应当把点写出来，然后求两个点形成的斜率，使用公式 $k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 。并且注意，对于那种横纵坐标相反、下标相似的点 $B_{1} (2, 0) B_{2} (- 2, 0)$ ，不要看错了。

且可以根据左右两个式子结构是否类似，来判断是否写错。

$Q (x_{q}, y_{q}), B_{1} (2, 0) B_{2} (- 2, 0), N (x_{2}, y_{2})$

$k_{Q B_{2}} = k_{N B_{2}}$

$\frac{y_{q}}{x_{q} + 2} = \frac{y_{2}}{x_{2} + 2}$

案例 8（算倒数）

已知 $a + \frac{1}{a} = \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}$

则 $\frac{1}{a + \frac{1}{a}}$ 等于多少？

错误：

若 $a + \frac{1}{a} = \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}$

则 $\frac{1}{a + \frac{1}{a}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}$

应该的做法：

可以现将分母的根号变为整数，再通分。或则被通分的数，分子、分母同乘 $\sqrt{3}$

$\frac{1}{a + \frac{1}{a}} = \frac{1}{\frac{4 \sqrt{3}}{3}} = \frac{3}{4 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

案例 9（去绝对值没考虑正负）

错误：

$k \in (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

$S = | \frac{8 k^{2} + 2}{4 k^{2} - 1} | = \frac{2 (4 k^{2} - 1) + 4}{4 k^{2} - 1}$

正确：

$k \in (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

$S = | \frac{8 k^{2} + 2}{4 k^{2} - 1} | = \frac{2 (4 k^{2} - 1) + 4}{1 - 4 k^{2}}$

去掉绝对值，没有考虑里面的值的正负。

应该这样：里面的值为正，则去掉绝对值不做改变；里面的值为负，则去掉绝对值还要加一个负号。

案例 10（提出去的系数没有乘）

错误：

$s_{1} s_{2} = (- k_{1} s + k_{2} s) s$

$= (k_{2} - k_{1}) s$

正确：

$s_{1} s_{2} = (- k_{1} s + k_{2} s) s$

$= (k_{2} - k_{1}) s^{2}$

错误原因：忘乘提出去的系数。外面本来就有个 s，把 s 提出去后应该是 $s^{2}$ 。

案例 11（系数平方，但变量没平方）

$k_{1} + k_{2} = \frac{2 x_{0} y_{0} + 2 y_{0}}{x_{0}^{2} + 2 x_{0}}$

$k_{1} + k_{2} = \frac{y_{0}^{2} - 1}{x_{0}^{2} + 2 x_{0}}$

错误：（平方，有个项的系数平方了，但是变量没有没有平方！）

$(k_{1} + k_{2})^{2} = \frac{4 x_{0}^{2} y_{0}^{2} + 4 y_{0} + 8 x_{0} y_{0}^{2}}{(x_{0}^{2} + 2 x_{0})^{2}}$

正确：

以后平方项也不要调换 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 中 $2 a b$ 和 $b^{2}$ 的顺序了，这样方便检查。

$(k_{1} + k_{2})^{2} = \frac{4 x_{0}^{2} y_{0}^{2} + 8 x_{0} y_{0}^{2} + 4 y_{0}^{2}}{(x_{0}^{2} + 2 x_{0})^{2}}$

案例 12（弦长公式忘乘前面的 $\sqrt{1 + k^{2}}$ 或 $\sqrt{1 + m^{2}}$ ）

算错了，算弦长公式忘乘前面的 $\sqrt{1 + m^{2}}$ 了！

错误：

$| M N | = \sqrt{1 + m^{2}} | y_{1} - y_{2} |$

$= \sqrt{1 + m^{2}} \frac{\sqrt{4 \times 4 \times 3 (3 m^{2} + 4 - 1)}}{4 + 3 m^{2}}$

$= \frac{12 \sqrt{m^{2} + 1}}{3 m^{2} + 4}$

正确：

$| M N | = \sqrt{1 + m^{2}} | y_{1} - y_{2} |$

$= \sqrt{1 + m^{2}} \frac{\sqrt{4 \times 4 \times 3 (3 m^{2} + 4 - 1)}}{4 + 3 m^{2}}$

$= \frac{12 (m^{2} + 1)}{3 m^{2} + 4}$

第二次这个错误！后面注意！

${\begin{cases} \frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{\frac{3}{2}} = 1 \\ x = m y + n \end{cases}$

错误：

$| A B | = \sqrt{1 + m^{2}} | y_{1} - y_{2} | = \sqrt{1 + m^{2}} \frac{\sqrt{4 \times 3 \times \frac{3}{2} \times (3 + \frac{3}{2} m^{2} - n^{2})}}{3 + \frac{3}{2} m^{2}}$

$= \frac{2 \sqrt{9 (6 + 3 m^{2} - 2 n^{2})}}{6 + 3 m^{2}}$

$= \frac{2 \sqrt{3 m^{2} - 2 n^{2} + 6}}{2 + m^{2}}$

正确：

$| A B | = \sqrt{1 + m^{2}} | y_{1} - y_{2} | = \sqrt{1 + m^{2}} \frac{\sqrt{4 \times 3 \times \frac{3}{2} \times (3 + \frac{3}{2} m^{2} - n^{2})}}{3 + \frac{3}{2} m^{2}}$

$= \sqrt{1 + m^{2}} \frac{2 \sqrt{9 (6 + 3 m^{2} - 2 n^{2})}}{6 + 3 m^{2}}$

$= \sqrt{1 + m^{2}} \frac{2 \sqrt{3 m^{2} - 2 n^{2} + 6}}{2 + m^{2}}$

案例 13

比如 $S = \frac{3 m^{2} + 4}{m^{2} + 1}$

错误：（又是系数忘乘……）

$S = \frac{m^{2} + 1}{3 m^{2} + 4}$

$= \frac{1}{1 + \frac{1}{m^{2} + 1}}$

算错了，应该是 $= \frac{1}{3 + \frac{1}{m^{2} + 1}}$

案例 14

错误：

$y_{1, 2} = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \times 3 \times 24}}{- 6}$

$= \frac{12 \pm \sqrt{8}}{6}$

错误原因： $3 \times 8 = 34$ ，应该是 $24$ ！当时脑子有点太过放松！

正确：

$y_{1, 2} = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \times 3 \times 24}}{- 6}$

$= \frac{12 \pm \sqrt{48}}{6}$

$= \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

$= \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

案例 15（下标搞混）

下标搞混，本来不能约的，给约去了！以后遇到有多个下标要化简时，记得看清楚下标是否能约去！

错误：

$\frac{| m_{2} - m_{1} |}{\sqrt{m_{1}^{2} + 1}} \cdot \frac{12 \sqrt{m_{2}^{2} + 1}}{4 + 3 m_{2}^{2}}$

$= \frac{12 | m_{2} - m_{1} |}{4 + 3 m_{2}^{2}}$

正确：

不能约！！

案例 16（硬解定理求坐标相减值一定会带根号）

硬解定理求坐标相减值一定会带根号，不带根号，就是算错了或看错了！

比如

${\begin{cases} \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1 \\ x = m_{1} y - 1 \end{cases}$ 那么 $| y_{1} - y_{2} | = \frac{\sqrt{4 \times 4 \times 3 \times (3 m_{1}^{2} + 4 - 1)}}{3 m_{1}^{2} + 4}$

$= \frac{12 \sqrt{m_{1}^{2} + 1}}{3 m_{1}^{2} + 4}$

而不是错误的 $\frac{12 (m_{1}^{2} + 1)}{3 m_{1}^{2} + 4}$ ！！

案例 17（两边要同乘）

前提： $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = 1$

错误：

$6 x_{0}^{2} - 4 y_{0} = 6 - y_{0}^{2} - 4 y_{0}$ （每项都要乘，如果对整个式子乘一个数）
$\sqrt{8 x_{0}^{2} - 8 y_{0}} = \sqrt{8} \sqrt{1 - y_{0}^{2} - 8 y_{0}}$ （前面已经把 8 提出去了，里面怎么还有 8 呢？完全就是心不在焉导致错误的）

正确：

$6 x_{0}^{2} - 4 y_{0} = 6 - 6 y_{0}^{2} - 4 y_{0}$
$\sqrt{8 x_{0}^{2} - 8 y_{0}} = \sqrt{8} \sqrt{1 - y_{0}^{2} - y_{0}}$ （前面已经把 8 提出去了，里面怎么还有 8 呢？）

总结：

以后对于 $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = 1$ ，我们应该先得出 $x_{0}^{2} = 1 - y_{0}^{2}, y_{0}^{2} = 1 - x_{0}^{2}$

再算 $n x_{0}^{2} = 几， n x_{0}^{2} = n - n y_{0}^{2}$

案例 18（对一个因式求导，因式不要展开）

求 $f (t) = (- 4 t^{2} + 49) (2 t + 7)$ 的最大值，

这是一个因式，要求导的话，不要展开，展开了就可能很难算根，必须通过求根公式求根……

错误：

$f (t) = - 8 t^{3} - 28 t^{2} + 98 t + 49 \times 7$

$f^{'} (t) = - 24 t^{2} - 56 t + 9$

结果因式分解不了，要通过求根公式算根 $x_{1}, x_{2}$ ……

正确：

$f (t) = (- 4 t^{2} + 49) (2 t + 7)$

直接对这种因式式子求导

$f^{'} (t) = (- 8 t) (2 t + 7) + 2 (- 4 t^{2} + 49)$

$= (- 8 t) (2 t + 7) + 2 (7 + 2 t) (7 - 2 t)$

$= (2 t + 7) (- 8 t + 14 - 4 t)$

$= (2 t + 7) (- 12 t + 14)$

然后就可以轻松判断出 $f^{'} (t) = 0$ 的零点，得出正负性，从到得出原函数的单调性。

案例 19（正负号）

错误：

$x^{2} - 2 (k x + m)^{2} = 0$

$(1 - 2 k^{2}) x^{2} - 4 k m x + 2 m^{2} = 0$

正确：

$x^{2} - 2 (k x + m)^{2} = 0$

$(1 - 2 k^{2}) x^{2} - 4 k m x - 2 m^{2} = 0$

案例 20（点到直线公式）

错误：

$d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{| A^{2} + B^{2} |}$

分母是根号，分子是绝对值！

正确：

$d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$

案例 21

对于一个分式，如果不知道分母的正负号，那么不能随意两边同乘分母，因为不知道是否需要变号。

所以只能采取相加减操作。

如下：

$(k^{3} - 2) t = 6 k^{2} - 3 k, (k \neq \sqrt[3]{2})$

$t = \frac{6 k^{2} - 3 k}{k^{3} - 2} > 3$

注意这里不能直接将分母乘过去，因为不知道正负号！所以需要作减法。

$0 > 3 - \frac{6 k^{2} - 3 k}{k^{3} - 2}$

$0 > \frac{3 k^{3} - 6 k^{2} + 3 k - 6}{k^{3} - 2}$

$\frac{3 k (k^{2} + 1) - 6 (k^{2} + 1)}{k^{3} - 2} < 0$

$\frac{(3 k - 6) (k^{2} + 1)}{k^{3} - 2} < 0$

$\frac{3 (k - 2)}{k^{3} - 2} < 0$

$(k - 2) (k^{3} - 2) < 0$

所以 $\sqrt[3]{2} < k < 2$

案例 22（通分，不要通错了）

实在想不过来，就把两边的通式先写出来。

错误：

$\frac{1}{2 t - 1} > \frac{1}{3}$

$\frac{1 - 6 t + 3}{2 t - 1} > 0$

$\frac{4 - 6 t}{2 t - 1} > 0$

$\frac{2 - 3 t}{2 t - 1} > 0$

通分的本质，就是分子分母各自通乘一个数，让其分母相同，这样就可以让分子相加减了。

正确：

$\frac{1}{2 t - 1} > \frac{1}{3}$

$\frac{3}{3 (2 t - 1)} > \frac{2 t - 1}{3 (2 t - 1)}$

$\frac{3 - 2 t + 1}{3 (2 t - 1)} > 0$

$\frac{4 - 2 t}{3 (2 t - 1)} > 0$

$\frac{2 - t}{2 t - 1} > 0$

$t \in (\frac{1}{2}, 2)$

案例 23（求根公式，若 a 的系数为负，注意分母也为负）

错误：

$S^{'} = \frac{(3 - 3 t^{2}) (1 + t^{2}) - (3 t - t^{3}) 2 t}{(1 + t^{2})^{2}}$

$= \frac{- t^{4} - 6 t^{2} + 3}{(1 + t^{2})^{2}}$

$t^{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 12}}{2}$

正确：

$S^{'} = \frac{(3 - 3 t^{2}) (1 + t^{2}) - (3 t - t^{3}) 2 t}{(1 + t^{2})^{2}}$

$= \frac{- t^{4} - 6 t^{2} + 3}{(1 + t^{2})^{2}}$

$t^{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 12}}{- 2}$

案例 24（式子两边平方，注意分子、分母都要平方）

如图左下角：

案例 25（没有类二次函数的概念）

不要想当然，实际上没有类二次函数这个概念，正确的做法是求导求最值。

案例 26（整体平方，系数也要平方）

$(- \frac{1}{3 k})^{2} = \frac{1}{9 k^{2}}$

而不是 $(- \frac{1}{3 k})^{2} = \frac{1}{3 k^{2}}$ ！！

案例（第二问）

set1

00_复习

01_基本立体图形

02_立体图形的直观图

03_简单几何体的表面积与体积

04_空间点、直线、平面之间的位置关系

05_空间直线、平面的平行

06_空间直线、平面的垂直

8.6.1_直线与直线垂直, 8.6.2_直线与平面垂直

8.6.3_平面与平面垂直

01_月考

02_一诊

01_青铜篇

第11章_逻辑与集合

解三角形

橘子例题

卷子

考试错题

set1

set3

立体几何

01_几何体的体积与表面积

02_角度与截面

03_球

04_动点轨迹

05_综合

06_大题

零点问题

01_无参数零点

02_带参数零点

03_最值极值

04_切线

数列

橘子题

圆锥曲线定点定值问题

圆锥曲线最值范围问题

set1

01 语法填空

02 阅读理解

03 阅读七选五

07 书面表达

听说读听

01_set

02_set

03_40 篇英语短文语法填空题

mySet00

set01

set02

01 运动的描述

02 匀变速直线运动

03 相互作用力

04 运动和力的关系

01 曲线运动