其它

• https://zhuanlan.zhihu.com/p/32126299

双曲线中的渐近线怎么来的？

极限的思想。

双曲线：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

$\frac{y^2}{b^2}=\frac{x^2}{a^2}-1$

$y^2=\frac{b^2}{a^2}(x^2-a^2)$

$y=\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$

当 $x\to \mathrm{\infty }$ 时，$y\to \frac{b}{a}x$

辗转相除法求最大公约数

求两个数的最大公约数，就用 $\mathrm{大}\mathrm{数}÷\mathrm{小}\mathrm{数}=\mathrm{商}\cdots \mathrm{余}\mathrm{数}$

然后用除数继续除以余数得到新的余数。

知道余数为零时，此时的除数为最大公约数。如下图所示：

理解：

TIP

由此我们可以得知，余数是一定比除数小的。

原理

解析几何求法向量快速方法

绘制函数图像

• https://www.desmos.com/calculator?lang=zh-CN

解数学题需要养成的习惯

1. 认真

做任何事都要认真，比如说话，做事，养成动脑的习惯。

2. 调用记忆力

有些条件是需要短暂的记忆的，所以需要调用自己大脑去短暂的记忆。

数学学习博主

• 静雅斋数学：https://www.cnblogs.com/wanghai0666

画图工具

• https://www.figdraw.com/#/
• https://www.imathtool.com/

求最值

假设题目给了一个函数 $f(x)$，要求其在定义域内的最值，一般需要对这个函数进行求导，对导函数进行分析。

含有对数或指数的导数题的解题技巧

对数单身狗，指数找基友。

对数单身狗

如果一个式子中的 $lnx$ 与 $f(x)$ 相乘除，我们对它求导，会发现求导完后还是存在 $lnx$，可能需要多次求导， 像下面这样：

$$[lnx\cdot f(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)\cdot lnx+\frac{1}{x}f(x)$$

而一个式子中的 $lnx$ 与 $f(x)$ 相加减，对这个式子求导，发现只需求导一次就可以将 $lnx$ 消掉，像下面这样：

$$[lnx\pm g(x){]}^{\prime }=\frac{1}{x}\pm g^{\prime }(x)$$

所以，对数单身狗指的就是，如果对原式子中含有 $lnx$ 且直接求导不好处理，我们可以将 $lnx$ 的系数提出来，然后对括号内的式子进行研究。

$$f(x)\cdot lnx⟹f(x)[lnx\pm \mathrm{△}]$$

指数找基友

一个式子中的 $e^x$ 与 $f(x)$ 相乘除，那么求导后值需要研究非 $e^x$ 的那部分即可。

$$[\frac{f(x)}{e^x}{]}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)-f(x)}{e^x}$$$$[f(x)\cdot e^x{]}^{\prime }=e^x(f^{\prime }(x)+f(x))$$

而一个式子中的 $e^x$ 与 $f(x)$ 相加减，那么求导后那个 $e^x$ 依旧存在。

$$[e^x\pm f(x){]}^{\prime }=e^x\pm f^{\prime }(x)$$

所以我们可以将 $e^x$ 提出去，让 $e^x$ 与 $f(x)$ 相乘或相除。

$$[e^x\pm f(x){]}^{\prime }=e^x\pm f^{\prime }(x)=e^x[1\pm \frac{f(x)}{e^x}]$$

数列求通项公式

$a_1=\frac{1}{2},a_n+\frac{1}{2}{S}_{n-1}=1$，求 $a_n$

解

$\{\begin{array}{l}{a}_n+\frac{1}{2}{S}_{n-1}=1,n⩾2\mathrm{①}\\ a_{n+1}+\frac{1}{2}{S}_n=1\mathrm{②}\end{array}$

$\mathrm{②}-\mathrm{①}$，得

$a_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_n$

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{2},n⩾2$

$a_2+\frac{1}{2}{a}_1=1$

$a_2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

所以 $a_n=a_2{q}^{n-2},n⩾2$

而 $a_1$ 并不满足这个同项公式，所以

$a_n=\{\begin{array}{l}\frac{3}{2^n},n⩾2\\ \frac{1}{2},n=1\end{array}$

中线长公式

$4A{D}^2+B{C}^2=2(A{B}^2+A{C}^2)$

证明

因为 $2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$

所以 $4{\overrightarrow{AD}}^2={\overrightarrow{AB}}^2+{\overrightarrow{AC}}^2+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$

因为 $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$

所以 ${\overrightarrow{BC}}^2={\overrightarrow{AC}}^2+{\overrightarrow{AB}}^2-2\cdot \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$

两式左右相加，得 $4A{D}^2+B{C}^2=2(A{B}^2+A{C}^2)$

指对函数放缩

常见的放缩：

$e^x⩾x+1$

$lnx⩽x-1$

但有没有想过 $e^x⩽$ 什么呢？

$lnx⩾$ 什么呢？

我们有以下常见结论

$\frac{1}{1-x}⩾e^x⩾x+1,(x<1)$

$1-\frac{1}{x}⩽lnx⩽x-1,(x>0)$

证明第一个式子

$e^x⩾x+1$

$x$ 换为 $-x$

$e^{x-}⩾-x+1$

再两边取倒数即可。

$e^x⩽\frac{1}{1-x},(x<1)$

证明第二个式子

$lnx⩽x-1$

$x$ 换为 $\frac{1}{x}$

$ln\frac{1}{x}⩽\frac{1}{x}-1$

再两边取相反数即可

$lnx⩾1-\frac{1}{x}$

高中射影定理

差比数列求和公式

一般会用错位相减法求，但是很容易算错。这里有个方法，差比数列求和法。

有差比数列 $(An+B)q^{n-1}$，如何求其 $S_n$？

$(1-q)S_n=-(An+B+\frac{A}{1-q})q^n+B+\frac{A}{1-q}$

这样记忆的话，把负号提到前面，$B+\frac{A}{1-q}$ 其实是在抄写前面的一部分。

三次函数的对称中心

三次函数的对称中心就是二阶导等于 0 的点。

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

对称中心为 $(-\frac{b}{3a},f(-\frac{b}{3a}))$

$-\frac{b}{3a}$ 为 $f^{\prime }\prime (x)=0$ 的根。

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$

$f^{\prime }\prime (x)=6ax+2b$

$0=6ax+2b$

$x=\frac{-2b}{6a}=-\frac{b}{3a}$

怎么判断两个函数相乘的单调性？

观察法

如果整体的符号是正号

如果两个函数相乘的绝对值在变大，就是单调递增；如果绝对值在变小，就是单调递减。

如果整体的符号是符号

如果两个函数相乘的绝对值在变小，就是单调递增；如果绝对值在变大，就是单调递减。

导数题的规律

我发现我们求得一个函数的导数后，一般都是先观察这个导数的单调性，是单调递增还是单调递减？

如果是单调递增或单调递减，那这种情况最简单。这时再看导数的零点 $x_0$ 在哪，然后就可以得出原函数在 $x_0$ 左右两边的单调性。

心态

题目大多数时候都要往简单的方向去想，因为太难的题，谁都做不出来！

求一个函数方程 y=f(x) 关于直线 x=m 或 y=m 或 y=x 或 y=-x 或 y=kx+b 对称的图像？

关于 x=m

设原图像的横坐标为 $x_0$，对称图像的横坐标为 $x$

则 $\frac{x_0+x}{2}=m$

所以 $x_0=2m-x$

所以 $f(x_0)=f(2m-x)$

关于 y=m

$y=f(x),y=m$

设原图像的纵坐标为 $y_0$，对称图像的纵坐标为 $y$

则 $\frac{y+y_0}{2}=m$

$y_0=2m-y$

所以 $y_0=f(x)=2m-y$

关于 y=x

关于 $y=x$ 对称，原来函数的定义域、值域分别变为新函数的值域、定义域。只需要将函数的 x、y 对调即可。

比如 $y=a^x$ 与 $x=a^y$ 关于 $y=x$ 对称，

$y=x^2$ 与 $x=y^2$ 关于 $y=x$ 对称。

关于 y=-x

将 x、y 对调的基础上，再给 x 或 y 加上符号。

关于 y=kx+b

什么情况下数学中的参数分离法不适用？

数学中的参数分离法在某些情况下可能不适用，这主要包括以下几种情况：

1. 不能将参数和自变量有效地分离开的：例如，在解决方程 e^(-x) = ln(x + a) 在 x > 0 时有解的问题时，如果尝试使用参数分离法，会发现参数 a 和自变量 x 无法有效地分离开来。此时，如果强行使用参数分离法，可能会使问题变得复杂且效率低下。

2. 分离参数后得到的新函数中含有复杂的三角函数（如 sinx 和 cosx）：这些函数有无穷阶导数，求导过程可能会一直进行下去，导致函数式不会变得简单，从而增加了解决问题的难度。

3. 分离参数后，得到的不等式或方程难以判断极值或解的情况：在尝试分离参数后，如果能得出形如 a<f(x)（或 a>f(x)）恒成立的不等式，通常需要通过求导判断 f(x) 的单调性，并找出其极值。然而，如果求导得到的式子较复杂，难以判断极值或解的情况，那么就不适合使用参数分离法。

几个特殊的等腰直角三角形

临时

1. 中垂线定理

函数图像

1

$f(x)=xlnx+x+1$

惊讶的地方：当 $x\to 0$ 时，$f(x)\to 0$，而不是趋近于 $-\mathrm{\infty }$。