04_习题课

答案全解全析>P364

A 基础练 | 学考测评 建议时间：15 分钟

1 知识点 2

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2 知识点

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3 知识点 3,4

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4 知识点 2

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B 综合练 | 高考模拟建议时间：30 分钟

5 知识点 3

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6 知识点 2

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7 知识点 1

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8 知识点 2

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旋转平面法

将平面 ABCD 绕轴 AB 旋转，使得平面 ABCD 与平面 $AB{C}_1{D}_1$ 平行。

此时求最大值。

点 $P(x,0)$ 到两点的距离之和的最小值法

本题可通过将函数表达式转化为几何意义，利用几何图形的性质来求解 $Z$ 的最小值。

步骤一：分析 $Z$ 的几何意义

• 对于 $\sqrt{x^2+4}$ ，可变形为 $\sqrt{(x-0{)}^2+(0-2{)}^2}$ ，根据两点间距离公式 $d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$ ，它表示平面直角坐标系中，点 $P(x,0)$ （ $P$ 点在 $x$ 轴上）到点 $A(0,2)$ 的距离，即 $|PA|$ 。
• 对于 $\sqrt{(x-1{)}^2+1}$ ，可变形为 $\sqrt{(x-1{)}^2+(0-1{)}^2}$ ，它表示点 $P(x,0)$ 到点 $B(1,1)$ 的距离，即 $|PB|$ 。

那么 $Z=\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(x-1{)}^2+1}=|PA|+|PB|$ ，问题就转化为在 $x$ 轴上找一点 $P$ ，使得 $P$ 到 $A(0,2)$ 与 $B(1,1)$ 的距离之和最小。

步骤二：利用对称点求最小值

作点 $A(0,2)$ 关于 $x$ 轴的对称点 $A^{\prime }(0,-2)$ 。 根据对称点的性质， $x$ 轴是 $A{A}^{\prime }$ 的垂直平分线，则 $|PA|=|P{A}^{\prime }|$ ，那么 $Z=|PA|+|PB|=|P{A}^{\prime }|+|PB|$ 。 根据两点之间线段最短可知，当 $A^{\prime }$ 、 $P$ 、 $B$ 三点共线时， $|P{A}^{\prime }|+|PB|$ 取得最小值，即 $|A^{\prime }B|$ 。

步骤三：计算 $|A^{\prime }B|$ 的值

根据两点间距离公式 $|A^{\prime }B|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$ ，其中 $A^{\prime }(0,-2)$ ， $B(1,1)$ ，则： $\begin{array}{rl}|A^{\prime }B|& =\sqrt{(1-0{)}^2+[1-(-2){]}^2}\\ & =\sqrt{1^2+3^2}\\ & =\sqrt{1+9}\\ & =\sqrt{10}\end{array}$

所以， $Z$ 的最小值为 $\sqrt{10}$ 。

9 多选题 知识点 2

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10 知识点 5

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11 知识点 2

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C 培优练 | 能力提升

12 知识点 2

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