01_平面向量

平面向量的减法运算

已知向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$，在平面内任取一点 $O$，作 $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，则 $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$。即 $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ 可以表示从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量，这就是向量减法的几何意义。

记忆技巧

减法，一般是“末 减 初”。

在这里也一样，只不过“末”代表的是 $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ 向量的末端，“初”代表的是 $\overrightarrow{c}$ 向量的起始端。

而向量是从起始端指向末端的。

两个点表示向量

假设有两个点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，那么 $\overrightarrow{AB}$ 代表从 A 指向 B 的向量。这个向量的起点是 A，终点是 B，所以用坐标表示这个向量为用“终点 - 起点 = $(x_2-x_1,y_2-y_1)$”

平面向量位置关系的坐标表示

两向量共线的坐标表示

TIP

简单记忆：外外减内内等于零= 0。

TIP

判断两坐标向量共线的方法，和用三角形两边的向量求面积类似。三角形的两个边共线时，三角形的面积自然为 0.

相关链接：06_知道三角形两个边的向量，如何求面积

两向量垂直的坐标表示

TIP

简单记忆：横横 + 纵纵等于零= 0。

定比分点的坐标表示

等分点离哪条边越近，哪条边的权重就更大。

换句话说，权重交叉相反。比如几等分点的左边线段占 $\frac{1}{3}$，那么左边的斜边权重为 $\frac{2}{3}$；

右边的斜边的权重为 $\frac{1}{3}$。

比如下图中，

$\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

向量的加减法不等式

TIP

• 从大到小，分别有 2 个绝对值、1 个绝对值、3 个绝对值。

• 最小的反而有最多 3 个绝对值。中间有 1 个绝对值。

把 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ 看作是两个力的合力。合力在两个力反向时最小，两个力同向时最大。所以有向量的加减法不等式：

$||\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}||⩽|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|⩽|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$

向量的乘法不等式