00.复习清单9

1

使用直线方程的标准式： $A x + B y + C = 0$ 的好处之一：可以轻易的得出该直线的正向法向量为 (A, B)

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.1 直线和圆/9.1.1 直线的位置关系/9.1.1.1 直线之间的基本位置关系(一轮).html

2

光线反射问题，一般将光线
- 法一：延长，找对称点。将反射的多段光线变成直线解决。
  - http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.1 直线和圆/9.1.1 直线的位置关系/9.1.1.2 对称问题(一轮).html#_16
- 法二：若是在一个规则的图形（比如正方形）里反射，将规则图形进行多次翻折，将光线变为直线。
  - http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.1 直线和圆/9.1.1 直线的位置关系/9.1.1.2 对称问题(一轮).html#_17
点对称问题使用速算方法：
- k = ±1 时，很简单：http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.1 直线和圆/9.1.1 直线的位置关系/9.1.1.2 对称问题(一轮).html#笔记
- k ≠ ±1 时，画图
线线对称也是分 k = ±1 和 k ≠ ±1 时的情况
- k = ±1 时，直接代换，x 变为 y + m，y 变为 x + n，且对直线、函数、曲线都适用！
- k ≠ ±1 时，使用二倍角公式

3

知道如何求一条直线的定点、以及大概的原理：http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.1 直线和圆/9.1.1 直线的位置关系/9.1.1.3 直线、曲线系的应用(一轮).html

4

动态的理解配极模型（化一半）：http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.1 直线和圆/9.1.3 直线与圆的动态问题/9.1.3.1 配极模型(一轮).html#课件
注意配极模型的化一半，如果这种 $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 4$ ，那么变成 $(x - 1) (x - 1) + (y + 2) (y + 2) = 4$ 再化一半

5

复习阿氏圆
- http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.1 直线和圆/9.1.3 直线与圆的动态问题/9.1.3.3 圆的等价模型(一轮).html
- http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/4 三角函数/4.3 解三角形/4.3.4 三角形中的范围与最值问题/4.3.4.4 几何法——利用阿氏圆速算(一轮).html#笔记

6

知道椭圆、双曲线、抛物线的基本定义：http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.2 圆锥曲线选填与基本性质/9.2.1 定义与性质/9.2.1.1 圆锥曲线标准方程与解答题第1小问(一轮).html
- 知道抛物线的系数 $2 p$ 为焦点横坐标 $x_{F}$ 的 4 倍
- 知道了离心率，可以根据 $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ 或 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ 列 $a^{2} : b^{2} : c^{2} = . . .$ 等比式来快速求出其它值。

7

椭圆、双曲线的焦点三角形面积公式的推导主要运用了余弦定理、正弦求面积公式。
- 建议最好还是记忆一下，公式也不是很复杂：http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.2 圆锥曲线选填与基本性质/9.2.1 定义与性质/9.2.1.2椭圆、双曲线的焦点三角形(一轮).html#笔记
所谓焦半径，就是焦点到曲线上一点的连线线段。看到焦半径的中点，就将其与原点连接，形成中位线。
之所以叫焦点，是因为光线从一个焦点出发，一定会经过另一个焦点。
- 不过注意，光线的路径所围成的图形不一定是三角形，也可能是直线！
- http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.2 圆锥曲线选填与基本性质/9.2.1 定义与性质/9.2.1.2椭圆、双曲线的焦点三角形(一轮).html#_8
等腰三角形已知三边，求等腰角的正切，利用几何法很容易解出来。用不着使用余弦定理。
- http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.2 圆锥曲线选填与基本性质/9.2.1 定义与性质/9.2.1.2椭圆、双曲线的焦点三角形(一轮).html#_12

8

双曲线的焦点三角形全等
焦点到渐近线的距离为 b

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.2 圆锥曲线选填与基本性质/9.2.1 定义与性质/9.2.1.3 渐近线及性质(一轮).html#笔记

9

抛物线的几何性质：
- 以焦点弦 AB 为直径的圆与准线相切
- 以焦半径 FA 为直径的圆与 y 轴相切
- 焦点弦 AB 的端点所在切线平分定义中的两线段夹角。

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.2 圆锥曲线选填与基本性质/9.2.1 定义与性质/9.2.1.4 抛物线的几何性质进阶(一轮).html#笔记

10

记住抛物线的焦半径公式和焦点弦公式
- 注意焦半径公式的分子是 1 个 p；而焦点弦公式是 2 个 p。焦点弦公式其实是有焦半径公式相加得来的，所以优先记忆焦半径公式 $L = \frac{p}{1 - c o s θ}$
注意抛物线的形式： $y^{2} = 2 p x$ 或 $x^{2} = 2 p y$ ，不存在 $y = a x^{2}$
- http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.2 圆锥曲线选填与基本性质/9.2.1 定义与性质/9.2.1.5 抛物线焦半径公式(一轮).html#_37

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.2 圆锥曲线选填与基本性质/9.2.1 定义与性质/9.2.1.5 抛物线焦半径公式(一轮).html#笔记

11

小题重几何，轻代数
椭圆、双曲线的半通径都是 $\frac{b^{2}}{a}$ 。

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.2 圆锥曲线选填与基本性质/9.2.2 离心率问题/9.2.2.1 列方程求离心率值(一轮).html#笔记

12

向量里动点比较多，或则说向量点乘可以做对称拆分，那么可以将向量进行拆分。

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.2 圆锥曲线选填与基本性质/9.2.2 离心率问题/9.2.2.2 列不等式求离心率范围(一轮).html#_16

求离心率的范围类型题里，椭圆的焦半径之比的范围比较好理解；但双曲线虽然不好理解，但是它和椭圆的类似，记忆椭圆的就行了。
- http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.2 圆锥曲线选填与基本性质/9.2.2 离心率问题/9.2.2.2 列不等式求离心率范围(一轮).html#笔记

13

明白曲线的弦中点与斜率积的结论： $k_{O M} k_{A B} = - \frac{b^{2}}{a^{2}}$
- http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.2 圆锥曲线选填与基本性质/9.2.3 弦中点与斜率积问题/9.2.3.1 椭圆与双曲线弦中点与斜率积(一轮).html
正着推：
- 椭圆、双曲线中，弦中点 M 到 O 斜率与弦 AB 的斜率之积为定值
反着推：
- 一点到关于 O 点对称的两点的线段斜率之积为定值，这个点的轨迹为椭圆或双曲线
- 圆中两条直线成 90 度，即 $k_{1} k_{2} = - 1$ ，经过伸缩变化，在椭圆中 $k_{1} k_{2} = - \frac{b^{2}}{a^{2}}$
  - http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.2 圆锥曲线选填与基本性质/9.2.3 弦中点与斜率积问题/9.2.3.1 椭圆与双曲线弦中点与斜率积(一轮).html#_6

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.2 圆锥曲线选填与基本性质/9.2.3 弦中点与斜率积问题/9.2.3.1 椭圆与双曲线弦中点与斜率积(一轮).html#笔记

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熟悉利用平面几何确定轨迹的 4 个模型：http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.2 圆锥曲线选填与基本性质/9.2.4 几何轨迹问题/9.2.4.1 利用平面几何关系确定轨迹(一轮).html#笔记
典型例题：http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.2 圆锥曲线选填与基本性质/9.2.4 几何轨迹问题/9.2.4.1 利用平面几何关系确定轨迹(一轮).html#_4

15

明白圆锥曲线的由来，怎么截圆锥会得到椭圆，怎么截会得到双曲线、抛物线？
- 关键就是截面是否与母线平行
- 或截得的图形段数。只有双曲线是两段
- ：http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.2 圆锥曲线选填与基本性质/9.2.4 几何轨迹问题/9.2.4.2 利用立体几何关系确定轨迹(一轮).html#笔记
在平面中，一个动点到两条相交直线的距离相等的轨迹是直线（角平分线），在空间中就是一个平面。
- http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.2 圆锥曲线选填与基本性质/9.2.4 几何轨迹问题/9.2.4.2 利用立体几何关系确定轨迹(一轮).html#_13

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明白解析几何解答题的交点问题的基本代数处理：http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.3 圆锥曲线的交点问题/9.3.1 三大几何条件翻译与求值求范围问题/9.3.1.1 交点问题的基本代数处理(一轮).html#笔记
解析几何大题的书写的小规范与技巧：
- 联立式，曲线方程一定化为整式: $b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} - a^{2} b^{2} = 0$
- 该提的公因式要提出去
- 过焦点的直线，联立后求 $Δ$ ，一定为 $λ (k^{2} + 1)$ 或 $λ (m^{2} + 1)$ 形式
- 当所设直线为 $y = k x + n$ 带两个未知数时，联立算 $Δ$ ，最高次项一定会被消掉。
- 设直线要看怎么设才方便后续计算，一般在 x 轴上的点 (a, 0)，设成 $x = m y + a$ ；在 y 上的点 (0, b)，设成 $y = k x + b$
会识别交点问题、动点问题，知道引发该问题的原因
知道哪些是根本变量，哪些是中间变量；我们所求的是根本变量。
如果所设直线与曲线不一定相交，那么需要算 $Δ > 0$ ，说明在什么范围直线才会与曲线相交（相当于卡定义域）
直线与曲线相切，还是属于交点问题，只不过两个交点重合了。依然可以联立使用韦达定理算出切点的横坐标或纵坐标

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.3 圆锥曲线的交点问题/9.3.1 三大几何条件翻译与求值求范围问题/9.3.1.1 交点问题的基本代数处理(一轮).html#基础

17

向量的点乘条件（包括等式关系和不等关系）要会翻译、倒着翻译。
$\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ ：
- 垂直
- 勾股 a^2 + b^2 = c^2
- 圆上
- $| \vec{P A} + \vec{P B} | = | \vec{P A} - \vec{P B} |$
$\vec{P A} \cdot \vec{P B} < 0$
- 钝角
- a^2 + b^2 < c^2
- 圆内
- $| \vec{P A} + \vec{P B} | < | \vec{P A} - \vec{P B} |$

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.3 圆锥曲线的交点问题/9.3.1 三大几何条件翻译与求值求范围问题/9.3.1.2 向量点乘条件的代数处理(一轮).html

18

理解并会运用点乘双根法。能用韦达定理的，也一定能用点乘双根法，是其升级版方法。
用点乘双根法的注意事项：
- 联立时要将曲线方程的等号右边化为 0
- 所设直线一定是带括号的形式 $y = k (x + n)$ 或 $x = m (y + n)$

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.3 圆锥曲线的交点问题/9.3.1 三大几何条件翻译与求值求范围问题/9.3.1.3 向量点乘双根速算技巧(一轮).html#_9-3-1-3-向量点乘双根速算技巧-一轮

19

具有向量共线条件的题，易出现非对称韦达定理化简。方法是直接使用求根公式。也可使用配凑对称式，但计算量是一样的，所以记住直接使用求根公式就完事了。
- http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.3 圆锥曲线的交点问题/9.3.1 三大几何条件翻译与求值求范围问题/9.3.1.4 向量共线条件的代数处理(一轮).html
翻译共线条件时，若得出线段之比，一般就要翻译为坐标之比。看是用 x 坐标差简单还是 y 坐标简单。某个坐标固定为 0，那就使用它更简单
- http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.3 圆锥曲线的交点问题/9.3.1 三大几何条件翻译与求值求范围问题/9.3.1.4 向量共线条件的代数处理(一轮).html#_6

20

记住弦长公式及其更易算的形式（一般都是用更易算的那个式子 $A B = \sqrt{1 + k^{2}} \frac{\sqrt{Δ}}{a}$ ）
- http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.3 圆锥曲线的交点问题/9.3.1 三大几何条件翻译与求值求范围问题/9.3.1.5 弦长、距离与面积条件的基础代数处理(一轮).html#笔记
$| x_{1} - x_{2} | = \frac{\sqrt{Δ}}{a}$ 也可算作韦达定理
先翻译、化简，更容易拿到分；比如 $S = \frac{1}{2} | A B | d = \frac{1}{2} \sqrt{1 + k^{2}} | x_{1} - x_{2} | \frac{| k x - y + n |}{\sqrt{k^{2} + 1}} = 可约去 . . .$
若一个动点在竖直线、水平线上运动，则求这个点到另一点的距离，要考虑用那种弦长公式更简单（m 形式和 k 形式）。
两个点的距离、点到直线的距离、焦点弦的长度，都可用弦长公式
- http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.3 圆锥曲线的交点问题/9.3.1 三大几何条件翻译与求值求范围问题/9.3.1.6 弦长、距离与面积条件的进阶代数处理(一轮).html#_10

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圆锥曲线中，最重要的是点；线是联系点与点的。
- 如果能用斜率直接联系点，就不需要写直线方程来联系点。
不要写太多的直线方程，除了必须用直线方程联立的那个以外，剩下的，能用斜率代表就用斜率代表，能极大简化计算

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.3 圆锥曲线的交点问题/9.3.1 三大几何条件翻译与求值求范围问题/9.3.1.7 斜率共线条件的代数处理(一轮).html

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定值问题，第一步一定先把定值给猜出来，然后后面就证明，得出这个结果。如果不对，肯定是算错了。
- http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.3 圆锥曲线的交点问题/9.3.2 定值定点问题/9.3.2.1 第一类定值(一轮).html
知道第二类定值的问题处理思路： $f (λ, k)$ ，其中 $λ$ 看作常数
- http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.3 圆锥曲线的交点问题/9.3.2 定值定点问题/9.3.2.2 第二类定值(一轮).html
知道第一类定点问题样子（动直线恒过定点）及做法：http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.3 圆锥曲线的交点问题/9.3.2 定值定点问题/9.3.2.3 第一类定点(一轮).html
知道第二类定点问题怎么判断定点在 x 轴还是在 y 轴上：只留下定点、定直线，定点、定直线的对称轴即是另一定点所在的直线：http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.3 圆锥曲线的交点问题/9.3.2 定值定点问题/9.3.2.4 第二类定点(一轮).html#笔记
- 注意这种判断方法仅适用于定点也在轴上

23

要知道角平分线的等价表述，并会识别！
- http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.3 圆锥曲线的交点问题/9.3.1 三大几何条件翻译与求值求范围问题/9.3.1.8 角度与斜率条件.html#笔记
- 例题：http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/9 解析几何/9.3 圆锥曲线的交点问题/9.3.2 定值定点问题/9.3.2.4 第二类定点(一轮).html#_7
在圆锥曲线中，角平分线定理可以不用证明；而在三角函数题里，需要证明
- http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/4 三角函数/4.3 解三角形/4.3.3 三角形中的几何问题/4.3.3.1 三角形中线与角平分线及变形（一轮）.html#笔记

24

不要把向量和斜率的算法搞混了。

1.1 解不等式

1.1.1 基础不等式的解法

1.1.2 函数不等式的解法

1.2 基本不等式（均值不等式）

1.2.1 基础知识与简单应用

1.2.2 有等量关系的多元最值

1.2.3 缺少等量关系的多元最值

1.3 二次函数基础模型

1.3.1 二次恒成立

1.3.2 二次函数根的分布

1.4 数学必备常识与技巧

1.4.1 高考数学必备基础常识

1.4.2 选择填空通用应试技巧

1.5 复数

1.5.1 复数的概念与运算

2.1 函数的概念与表示

2.1.1 函数值域

2.2 函数的性质

2.2.1 单调性

2.2.2 奇偶性与对称性

2.2.3 周期性

2.2.4 性质综合应用

2.3 基本初等函数

2.3.1 指对幂函数

2.4 函数的应用

2.4.1 函数图像及变换

2.4.2 根与方程问题

3.1 导数的概念与意义

3.1.1 导数的基本概念

3.1.2 导数的几何意义

3.2 单调性问题

3.2.1 讨论单调区间

3.2.2 已知单调性求参数范围

3.3 极值最值问题

3.3.1 最值讨论与值域

3.3.2 双逻辑连接词下的函数问题

3.4 恒成立与存在性问题

3.4.1 已知恒成立或存在性求参数范围

3.4.2 已知参数范围证明恒成立

3.5 根与方程问题

3.5.1 根与零点问题

3.5.2 切线相关问题

3.5.3 双零点问题

3.5.4 极值点问题

4.1 三角函数的恒等变换

4.1.1 基础公式问题

4.1.2 字母型角度化简求值问题

4.1.3 综合问题

4.2 三角函数的图像

4.2.1 正弦型三角函数图像

4.2.2 三角函数的图像变换

4.2.3 三角函数图象的性质

4.3 解三角形

4.3.1 三角形中的基础公式问题

4.3.2 三角形中的代数求值问题

4.3.3 三角形中的几何问题

4.3.4 三角形中的范围与最值问题

5.1 向量基本问题

5.1.1 三大基本方法

6.1 等差与等比数列

6.1.1 等差数列

6.1.2 等比数列

6.2 求通项公式

6.2.1 通项公式与递推公式基础

6.2.2 项与项递推求通项

6.2.3 项与和递推求通项

7.1 空间几何体

7.1.1 基本问题

7.1.2 与球有关的问题

7.2 空间中的位置关系

7.2.1 位置关系选择填空

7.2.2 位置关系解答题

7.3 空间中的角度与距离

7.3.1 传统几何法解空间角度与距离

7.3.2 空间向量法解空间角度与距离

8.1 排列组合

8.1.1 计数原理

8.1.2 排列组合及常见计数模型

8.1.3 二项式定理

8.2 概率