13 基础课：速度增量法

考定量计算的两大碰撞

完全非弹性碰撞

碰后速度好求，损失机械能难求。

使用折合质量法求损失机械能。

（完全）弹性碰撞

无损失机械能，碰后速度难求。

使用速度增量法求碰后速度难。

速度增量法

弹性碰撞

共速时刻

规律

$v_1,v_{\mathrm{共}}，v_1^{\prime }$ 三者成等差数列。$2v_{\mathrm{共}}=v_1+v_1^{\prime }$

$v_2,v_{\mathrm{共}}，v_2^{\prime }$ 三者也成等差数列。$2v_{\mathrm{共}}=v_2+v_2^{\prime }$

$$v_1,v_{\mathrm{共}}=\frac{m_1{v}_1+m_2{v}_2}{m_1+m_2},v_1^{\prime }=\frac{(m_1-m_2)v_1+2m_2{v}_2}{m_1+m_2}$$$$v_2,v_{\mathrm{共}}=\frac{m_1{v}_1+m_2{v}_2}{m_1+m_2},v_2^{\prime }=\frac{(m_2-m_1)v_2+2m_1{v}_1}{m_1+m_2}$$

动碰静（弹性碰撞）

如图，$m_2$ 静止，$m_1$ 以 $v_1$ 速度向 $m_2$ 撞去。

若 $m_1>m_2$，即大撞小，结果是 $m_1,m_2$ 一起向初速度方向走。

若 $m_1<m_2$，即小撞大，结果是小反弹。

若 $m_1=m_2$，即等质量，结果是换速度。

牛顿摆例子

例题

题 1

解

以 A 初速度为正方向

$\{\begin{array}{l}4m\times 7v_0+2m{v}_0=m{v}_B^{\prime }+4m{v}_A^{\prime }\\ \frac{1}{2}\times 4m\times (7v_0{)}^2+\frac{1}{2}m\times (2v_0{)}^2=\frac{1}{2}\times 4m{v}_A^{\prime 2}+\frac{1}{2}m{v}_B^{\prime 2}\end{array}$

解得：

……

草稿纸：

$28m{v}_0+2m{v}_0=5m{v}_{\mathrm{共}}$

$v_{\mathrm{共}}=6v_0$

A:$7v_0,6v_0,5v_0$

B:$2v_0,6v_0,10v_0$

所以解得 $v_A^{\prime }=5v_0，v_B^{\prime }=10v_0$，均与正方向相同。

题 2

解

以 A 碰前速度方向为正方向，

$\{\begin{array}{l}3m{v}_0-m{v}_0=m{v}_B^{\prime }+3m{v}_A^{\prime }\\ \frac{1}{2}\times 3m{v}_0^2+\frac{1}{2}m{v}_0^2=\frac{1}{2}\times 3m{v}_A^{\prime 2}+\frac{1}{2}m{v}_B^{\prime 2}\end{array}$

抄稿纸：

$3m{v}_0-m{v}_0=4m{v}_{\mathrm{共}}$

$v_{\mathrm{共}}=0.5v_0$

$A:v_0,0.5v_0,0$

$B:-v_0,0.5v_0,2v_0$

所以解得 $v_A^{\prime }=0,v_B^{\prime }=2v_0$，方向均与正方向相同。

题 3

解

$v_{\mathrm{共}}=\frac{2\times 2+2\times 1}{4}=1.5m/s$

$A:2,1.5,1$

$B:1,1.5,2$

$C$

题 4

解

$m_2$ 在与地面接触瞬间反向，然后 $m_1,m_2$ 相向而撞。

设竖直向下为正方向

$v_{\mathrm{共}}=\frac{mv-3mv}{4m}=-0.5v$

$m_1:v,-0.5v,-2v$

$v^2=2gh$

$(2v{)}^2=2g{h}^{\prime }$

$h^{\prime }=4h$

$D$

题 5

解

$B$