13 题型技巧课：弦长公式

题型特征

已知弦长、弦切角，或它们很好求，可以用弦长公式，省去推导弦长与弦切角的关系等式。

如何画弦长，找弦切角

进出点的连线就是弦长。

进/出速度和弦的夹角就是弦切角。

弦长公式（值得记住※）

已知弦长、弦切角，或它们很好求，可以用弦长公式，省去推导弦长与弦切角的关系等式。

$\frac{\frac{l}{2}}{r}=sin\theta$

$$r=\frac{l}{2sin\theta }=\frac{mv}{qB}$$$$l=\frac{2mvsin\theta }{qB}$$

思路梳理

• 求 $v,B，\mathrm{比}\mathrm{荷}$

使用弦长公式 $l=\frac{2mvsin\theta }{qB}$ 或半径公式 $\frac{r=mv}{qB}$

• 求时间 t

利用 圆心角=2 弦切角，$t=\frac{\mathrm{圆}\mathrm{心}\mathrm{角}}{360}\frac{2\pi m}{qB}=\frac{\mathrm{圆}\mathrm{心}\mathrm{角}}{360}\frac{2\pi r}{v}$

弦长公式变式（v、B、比荷）

$l=\frac{2mvsin\theta }{qB}$

可推出：

$v=\frac{lqB}{2msin\theta }$

$B=\frac{2mvsin\theta }{ql}$

$\frac{q}{m}=\frac{2vsin\theta }{lB}$

大题能用吗？

没必要。弦长公式就是根据轨迹、定圆心、找半径/找角度推出来的。

做题意识

如果一眼看去弦长、弦切角很好求就用，看不出来就不要用， 不要勉强。

看到正方形、正六边形磁场，大概率用弦长公式简单！

例题

题 1

TIP

利用弦长公式，省去做弦长中垂线、速度垂线、垂线交点了。

解

$l=\frac{2mvsin\theta }{qB}$

$A$

题 2

TIP

同一点进同一点出，暗示弦长相等，想到弦长公式

解

$l=\frac{2m_p{v}_{p}sin{90}^{\circ }}{qB}$

$l=\frac{2m_q{v}_{q}sin{45}^{\circ }}{qB}$

$1=\frac{2m_p{v}_p}{\sqrt{2}{m}_q{v}_q}$

$qvB=m\frac{2\pi }{T}v$

$t=\frac{2\pi m}{qB}$

$\frac{180}{360}\frac{2\pi m_p}{qB}=\frac{90}{360}=\frac{2\pi m_q}{qB}$

$2m_p=m_q$

$\frac{m_p}{m_q}=\frac{1}{2}=1:2$

$\frac{v_p}{v_q}=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{m_q}{m_p}=\sqrt{2}$

$AC$

题 3

解

$l_1=l,\theta ={30}^{\circ }$

$l_2=\sqrt{2}l,{\theta }_2={45}^{\circ }$

$AC$

题 4

解

$l_1=l,{\theta }_1={60}^{\circ }$

$l_2=\sqrt{3}l,{\theta }_2={30}^{\circ }$

$v=\frac{lqB}{2msin\theta }$

$\frac{v_1}{v_2}=\frac{l_1}{l_2}\frac{sin{\theta }_2}{sin{\theta }_1}=\frac{1}{3}$

$A$

题 5

解

$l_a=\frac{l}{2},{\theta }_a={90}^{\circ }$

$l_d=\frac{\sqrt{5}}{2}l$

$sin{\theta }_d=\frac{\frac{l}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}l}=\frac{1}{\sqrt{5}}$

……

$B$

题 6

解

$A$