13 考点 - 组合计数之间接法 (中档)

例题 1

解：

总共有 $C_{12}^5$ 选法。

没有一名女同学的选法：$C_8^5$

答案：$C_{12}^5-C_8^5$

例题 2

解：

恰有两个连续空车位情况数：

需要使用插空法和捆绑法。

假设先停好四辆车，这时还剩 3 个车位。要有两个连续车位，可以想成还剩两个车位，车位 1 和 车位 2。利用插空法将这两个车位插进四辆车里。

$A_4^4{A}_5^2$

且红白两车相邻的情况：

利用捆绑法，将红白辆车捆绑成一辆车。

$A_2^2{A}_3^3{A}_4^2$

所以答案：$A_4^4{A}_5^2-A_2^2{A}_3^3{A}_4^2=(4\times 3\times 2\times 5\times 4-2\times 3\times 2\times 4\times 3)$

$=24\times (20-6)$

$=24\times 14=336$

例题 3

解：

涉及到分堆问题。

假设有 a，b，c，d，e，f 六个苹果。分给甲两个，分给乙两个。有 $C_6^2{C}_4^2$ 种分法。这里面包含两种情况：1，甲 $ab$，乙 $bc$;2，甲 $bc$，乙 $ab$。因为是分给不同的人，所以不存在重复的情况。

但如果我们要将这 6 个苹果分成 4 堆，最多的堆有 2 个，最少的堆有 1 个，那么这么算就会有重复的情况。

需要去重：$\frac{C_6^2{C}_4^2}{A_2^2}$

像这样，我们就把 6 门科目分成了 4 堆，再进行排序，总共的种数为 $\frac{C_6^2{C}_4^2{A}_4^4}{A_2^2=1080}$

我们再来计算相反面：

语文，数学，物理任何两科不能排在同一个半天的相反面是：语文，数学，物理有两科排在了同一个半天。

我们再分类：

$\{\begin{array}{l}\mathrm{语}\mathrm{数}\mathrm{在}\mathrm{同}\mathrm{一}\mathrm{半}\mathrm{天}：C_4^2\times A_4^4\\ \mathrm{语}\mathrm{物}\mathrm{在}\mathrm{同}\mathrm{一}\mathrm{半}\mathrm{天}：C_4^2\times A_4^4\\ \mathrm{数}\mathrm{物}\mathrm{在}\mathrm{同}\mathrm{一}\mathrm{半}\mathrm{天}：C_4^2\times A_4^4\end{array}$

$=3\times C_4^2{A}_4^4=432$

所以答案为 $1080-432=648$