02 排列

说说

本节讲解 $A_n^m$ 的意义代表什么。

引出

从 $1,2,3,4$ 这 4 个数字中，每次取出 3 个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？

排列的定义

一般地，从 n 个不同元素中取出 $m(m\le n)$ 个元素，按照一定的顺序排成一排，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。

我们将不同排列的个数记为 $A_n^m$。

换个说法：从 n 个元素中取出 m 个元素，并按照一定顺序排列，所有排列方式的种数记为 $A_n^m$。

$A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$

比如 $A_7^4$ 代表的含义：从 7 个元素中取出 4 个排成一排，问有多少种排法？

当 $n=m$ 时，$A_n^m=A_n^n=n!$，这种排列称为元素的全排列。

$A_n^m$ 还有个公式：

$A_n^m=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-m+1)(n-m)(n-m-1)...1}{(n-m)(n-m-1)...1}=\frac{n!}{(n-m)!}$

例题 1

某年全国足球甲级（A 组）联赛共有 14 个队参加，每队都要与其余各队在主，客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？（）

$A.91$

$B.182$

$C.364$

$D.14$

解：

这题如果按照排列的定义来做，会感觉想不过来。因为排列说的是所有不同排列方法的种数之和，而这里题目说的是共有多少场比赛。

我们可以转换下题目的问题，有 14 个队（编号为 1 ~ 14），从中选出 2 个队伍分别作为主场和客场，有多少种选法？

所以可以得出有 $A_{14}^2$ 种选法。刚好，这些所有选法可以用来作为比赛安排。所以答案为 $14\times 13=182$

例题 2

（1）从 5 本不同的书中选出 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？

（2）从 5 种不同的书中买 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？

解：

(1)

对这 5 本书进行编号。符合排列的定义，所有有 $A_5^3=5\times 4\times 3=120$ 种送法。

（2）

因为是 5 种不同的书，不是 5 本。不会因为买了一本就影响后面的买法，所以有 $5\times 5\times 5=125$ 种送法。

例题 3

用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

解：

法一，$9\times 9\times 8=648$

法二，$10\times 9\times 8-9\times 8=720-72=648$