18 大题 - 大题中的角相等问题 (基础)

解题思路：

可得两条直线的斜率 $k_1+k_2=0$

例题 1

设椭圆 $C:\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 的右焦点为 $F$，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，点 $M$ 的坐标为 $(2,0)$.

(1) 当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，求直线 $AM$ 的方程；

(2) 设 $O$ 为坐标原点，证明：$\mathrm{\angle }OMA=\mathrm{\angle }OMB$

解：

（1）

$a=\sqrt{2}$

$b=1$

$c=\sqrt{2-1}=1$

当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，$l:x=1$

此时 $y^2=\frac{1}{2}$

$y=\perp \frac{\sqrt{2}}{2}$

假设 $A$ 点在 $x$ 轴上方，$A(1,\frac{\sqrt{2}}{2})$

$k_{AM}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-1}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$l_{AM}:y=-\frac{\sqrt{2}}{2}(x-2)$

$y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\sqrt{2}$

（2）

设 $l_{AB}:x=my+1$

设 $A(x_1,y_2),B(x_2,y_2)$

联立方程

$\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{x^2}{2}+y^2=1\end{array}$

$\frac{m^2{y}^2+2my+1}{2}+y^2=1$

$m^2{y}^2+2my+1+2y^2=2$

$(m^2+2)y^2+2my-1=0$

所以 $y_1+y_2=\frac{-2m}{m^2+2}$

$y_1{y}_2=\frac{-1}{m^2+2}$

又因为 $k_{AM}+k_{BM}=\frac{y_1}{x_1-2}+\frac{y_2}{x_2-2}$

$=\frac{y_1(x_2-2)+y_2(x_1-2)}{(x_2)(x_2-2)}$

$=\frac{y_1(m{y}_2-1)+y_2(m{y}_1-1)}{(x_2)(x_2-2)}$

$=\frac{2m{y}_1{y}_2-(y_1+y_2)}{(x_2)(x_2-2)}$

$=2m\cdot \frac{-1}{m^2+2}+\frac{2m}{m^2+2}$

$=0$

所以 $k_{AM}=-k_{BM}$

例题 2

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，焦距为 $2$.

(1) 求椭圆的方程

(2) 过椭圆右焦点且垂直于 x 轴的直线交椭圆于 P，Q 两点，C，D 为椭圆上位于直线 $PQ$ 异侧的两个动点，满足 $\mathrm{\angle }CPQ=\mathrm{\angle }DPQ$，求证：直线 CD 的斜率为定值，并求出此定值。

解：

(1)

$2c=2$

$c=1$

$a=\sqrt{2}$

$\frac{x^2}{2}+y^2=1$

(2)

设 C，D 的坐标分别为 $C(x_1,y_2),D(x_2,y_2)$

直线要求 $k_{CD}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$，并且它是一个定值。

如果我们设直线 CD 的方程为 $y=kx+b$

那算出来的 $x_1,x_2$ 含有两个未知数，不太好解。并且用不到题目中给的角相等条件。

所以我们可以想到设直线 $CP$ 的方程，它过定点 $P(1,\frac{\sqrt{2}}{2})$。这样我们就能求出用 k 表示的 $x_c$ 坐标。

设 $l_{cp}:y=k(x-1)+\frac{\sqrt{2}}{2}$

接下来我们需要联立曲线和直线，这里我们注意到直线中包含参数，所以可以两边同时乘 $\sqrt{2}$，变成

$\{\begin{array}{l}{x}^2+2y^2=2\\ \sqrt{2}y=\sqrt{2}k(x-1)+1\end{array}$

这里计算需要思考怎么算方便，

$2y^2=2k^2(x-1{)}^2+1+2\sqrt{2}k(x-1)$

$=2k^2(x^2-2x+1)+1+2\sqrt{2}kx-2\sqrt{2}k$

$=2k^2{x}^2-4k^{2}x+2k^2+1+2\sqrt{2}kx-2\sqrt{2}k$

$=2k^2{x}^2+(2\sqrt{2}k-4k^2)x+2k^2-2\sqrt{2}k+1$

$(1+2k^2)x^2+(2\sqrt{2}k-4k^2)x+2k^2-2\sqrt{2}k-1=0$

$x_c+1=\frac{4k^2-2\sqrt{2}k}{1+2k^2}$

$x_c=\frac{2k^2-2\sqrt{2}k-1}{1+2k^2}$

因为在同一条直线上，所以

$y_c=k(x_c-1)+\frac{\sqrt{2}}{2}$

$=k(\frac{-2\sqrt{2}k-2}{1+2k^2})+\frac{\sqrt{2}}{2}$

接下来就是常见的操作了，因为另外一条直线的斜率与这条直线的斜率是由一个等式关系的，

即 $k_{cp}=-k_{dp}$

所以

$x_d=\frac{2k^2+2\sqrt{2}k-1}{1+2k^2}$

$y_c=k(\frac{2-2\sqrt{2}k}{1+2k^2})+\frac{\sqrt{2}}{2}$

最终我们要求的结果 $\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{-4}{-4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$