09 考点 - 点差法 (中点弦问题)(中档)

适用曲线

椭圆或者双曲线。

椭圆的点差法

椭圆中的点差法：一条直线如果与一个椭圆相交于两点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，那么我们可以使用一个公式将“直线的斜率”、“AB 线段的中点”、“椭圆的 a、b”联系起来。

推导如下：

$\{\begin{array}{l}\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1\\ \frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1\end{array}$

注意

使用此公式时，我们永远将 $x^2$ 下的分母当做 $a^2$，而不管椭圆的长轴是在 x 轴上还是在 y 轴上。

上面两式子相减，得

$\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{a^2}=-\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{b^2}$

$-\frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{x_1+x_2}{y_1+y_2}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=k_{AB}$

$\because \frac{\frac{x_1+x_2}{x}}{\frac{y_1+y_2}{2}}=\frac{x_P}{y_P}$

$\therefore -\frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{x_P}{y_P}=k_{AB}$（$(x_P,y_P)$ 是线段 $AB$ 中点坐标）

例题 1

已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，过点 $(0,\frac{5}{8})$ 的直线交椭圆 $C$ 所得的弦的中点坐标为 $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，则该椭圆的离心率为（）

解：

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

例题 2

解：

例题 3

解：

注意

使用此公式时，我们永远将 $x^2$ 下的分母当做 $a^2$，而不管椭圆的长轴是在 x 轴上还是在 y 轴上。

TIP

需要分情况，当 $x\ne 0$ 时，不能使用这个公式。最后验证所有的结果是否符合这个公式。