08 特殊直线性质：过定点，对称性

说说

假设有个直线 $Ax+By+C=0$，题目可能说它过定点，或者说它和某条直线关于某个点对称，那我们要能够翻译这类条件。

例题

例题 1（过定点）

直线 $l:(a+2)x+(1-a)y-3=0$，当 a 变动时，所有直线都通过定点（）

解：

将 $a$ 放在一起，如果 a 的系数为零，那么这时直线与 a 的取值无关。由此得出定点。

例题 2（过定点）

已知直线 $l:(m+1)x+(1-m)y+(m-3)=0$，则原点到直线 $l$ 的距离的最大值等于___.

解：

同理。直线过定点问题。

例题 3（点对称）

点 $(1,2)$ 关于直线 $x+y-2=0$ 的对称点是（）

解：

首先我们知道直线的斜率 $k=-1$，

所以垂直于它的直线的斜率为 $k^{\prime }=1$

假设对称点为 $(x_0,y_0)$

则有两个方程

$\{\begin{array}{l}\frac{2-y_0}{1-x_0}=1\\ \frac{1+x_0}{2}+\frac{2+y_0}{2}-2=0\end{array}$

由此可以解出 $(x_0,y_0)$。

例题 4（点关于直线对称）

已知点 $A(4,5)$，点 $B$ 在 $x$ 轴上，点 $C$ 在 $2x-y+2=0$ 上，则 $\mathrm{△}ABC$ 的周长最小值为___.此时点 $C$ 的坐标为____.

解：

$4\sqrt{10}$

例题 5（直线关于点对称）

与直线 $3x-4y+5=0$ 关于坐标原点对称的直线方程为（）

解：

设直线方程为 $A{x}_0+B{y}_0+C=0$

则满足 $3(-x_0)-4(-y_0)+5=0$

即 $-3x_0+4y_0+5=0$