11 向量数量积问题处理思路 (中档)

说说

需要记住的运算规则：

第一个：

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot cos\theta$

$\therefore cos\theta =\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|}$

第二个：

${\overrightarrow{a}}^2+{\overrightarrow{b}}^2+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{)}^2$ （一次转二次）

例题 1

已知非零向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 满足 $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|，(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{a}=0$，则向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 的夹角为（）。

$A.\frac{\pi }{6}$

$B.\frac{\pi }{3}$

$C.\frac{5\pi }{6}$

$D.\frac{2\pi }{3}$

解：

$D$。

例题 2

已知平面向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ 满足 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=0,\mathrm{且}|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1$，则 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ 的值为（）。

$A.-\frac{1}{2}$

$B.\frac{1}{2}$

$C.-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{D.\sqrt{3}}{2}$

解：

$A$。

例题 3

在 $\mathrm{△}ABC$ 中，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0$，$|\overrightarrow{AB}|=\overrightarrow{BC}=3\sqrt{2}$，$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DC}$，则 $\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{CA}=$（）。

$A.4$

$B.-6$

$C.6$

$D.-4\sqrt{3}$

解：

$B$。