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已知函数 f(x)=ex−1ax+lnx−x.
（1）若 a=1，求 f(x) 的极值；
（2）若 f(x) 有三个极值点 x1,x2,x3,x1<x2<x3，且 x1x3⩽2ln2，求 a 的最小值。
f(x)=ex−1ax+lnx−x(x>0)
a=1
f(x)=ex−1x+lnx−x
f′(x)=xex−1−ex−1x2+1x−1
=xex−1−ex−1+x−x2x2
=ex−1(x−1)+x(1−x)x2
=(ex−1−x)(x−1)x2
因为 ex⩾x+1
所以 ex−1⩾x
ex−1−x⩾0
0<x<1,f′(x)<0,f(x)↓
x>1,f′(x)>0,f(x)↑
f(x) 有极小值 f(1)=1−1=0
f(x)=ex−1ax+lnx−x
f′(x)=xex−1−ex−1ax2+1x−1
即 xex−1−ex−1ax2=1−1x=x−1x 有 3 解
ex−1(x−1)ax2=x−1x
所以 x=1 为其中一个解
ex−1=ax 有 2 解
a=ex−1x
令 g(x)=ex−1x
g′(x)=xex−1−ex−1x2=ex−1(x−1)x2
0<x<1,g′(x)<0,g(x)↓
x>1,g′(x)>0,g(x)↑
g(x)min=g(1)=1
所以 0<x1<x2=1<x3,a>1
{ex1−1=ax1ex3−1=ax3
{x1−1=lna+lnx1x3−1=lna+lnx3
下式减上式，得
x3−x1=lnx3x1
令 x3x1=t,t>1
x3=tx1
x1=lntt−1
x3=tlntt−1
所以 x1x3=tlntt−1⩽2ln2
令 n=t,n>1,t=n2
φ(n)=2nlnnn2−1
φ′(n)=2[(lnn+1)(n2−1)−2n2lnn(n2−1)2]
=2[−(n2+1)lnn+n2−1(n2−1)2]
令 m(n)=−(n2+1)lnn+n2−1
m′(n)=−[2nlnn+n+1n]+2n
m′′(n)=−[2lnn+2+1−1n2]+2
=−2lnn+1n2−1
m′′′(n)=−2n−2n3<0
所以 m′′(n)↓,m′′(n)<m′′(1)=0
所以 m′(n)↓,m′(n)<m′(1)=0
所以 m(n)↓,m(n)<m(1)=0
φ′(n)<0,φ(n)↓
因为 φ(n)⩽2ln2
所以 n⩾2
t=n2⩾2
令 F(t)=x1=lntt−1
F′(t)=1−1t−lnt(t−1)2
F′′(t)=1t2−1t=1−tt2<0
所以 F′(t)↓,F′(t)<F′(2)<F′(1)=0
F(t)↓
所以 0<F(t)⩽F(2)=ln2
0<x1⩽ln2
a=ex1−1x1
根据 g(x) 图像可知，
amin=g(ln2)=eln2−1ln2=2eln2
TIP
给了自变量范围，将 2 零点方程式子相除；
如果给的是函数范围，就需要用另外的方法，不能两式相除。
求导，
