难度： 简单

标签： 权方和不等式基本不等式1 的妙用最值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知 $x,y$ 为正实数，若 $x+y=1$，则 $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$ 的最小值为（）

解

法一（1 的妙用）：

$(\frac{1}{x}+\frac{2}{y})(x+y)=1+\frac{y}{x}+\frac{2x}{y}+2$

$⩾3+2\sqrt{2}$，当 $\{\begin{array}{l}2x^2=y^2\\ x+y=1\end{array}$ 时等号成立，即 $x=\sqrt{2}-1,y=2-\sqrt{2}$ 时取等号

法二（权方和不等式）：

$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1^2}{x}+\frac{(\sqrt{2}{)}^2}{y}⩾\frac{(1+\sqrt{2}{)}^2}{(x+y)}$

$=(1+\sqrt{2}{)}^2=3+2\sqrt{2}$

当 $\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{2}}{y}$ 时取等。

即 $y=\sqrt{2}x,x+y=1$

$x=\sqrt{2}-1,y=2-\sqrt{2}$ 时取等。