难度： 困难

标签： 圆锥曲线最值范围问题几何特征

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）第一小问

解（2）第二小问

如果是三等分点，只需证明 $MN=\frac{1}{3}AB$。

且有条件，$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$

二次比二次分式函数的值域

遇到这种二次比二次分式的函数，首先需要搞清楚定义域，然后一定要注意分母是否可能为 0。

否则需要进行分段讨论函数的图像。

比如 $f(t)=\frac{t^2}{(4-3t)(t-4)}$，如果定义域是 $(\frac{4}{3},4)$，那么求解值域是可以操作的。

求导，$f^{\prime }(t)=\frac{16t(t-2)}{...}$

因为 $x=\frac{4}{3},4$ 时 $f(t)$ 是不存在的，所以如果定义域包含了这两个值，需要分段讨论函数的值域。！！

如果 $t\in R$，实际上 $f(t)$ 的函数图像如下：

TIP

像这种两条直线的斜率，要求取值范围，一定要注意定义域！这是关键，否则定义域求错了结果也错了。

一般来讲，有两个交点就是算 $\mathrm{\Delta }>0$ （不能等于 0）。

且注意，假设 $k_1$ 的定义域为 $D_1$，$k_2$ 的定义域为 $D_2$，现在如果使两个变量有关系比如 $k_1{k}_2=-1$，那么

它们的定义域也会改变实际上，比如 $D_1$，还有 $k_2=\frac{-1}{k_1}\in D_2$，由此解出 $k_1$ 的另一个定义域 $D_1^{\prime }$。

所以 $k_1$ 的定义域为交集 $D_1\cap D_1^{\prime }$