难度： 困难

标签： 圆锥曲线最值范围问题定点定值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\frac{x^2}{2}+y^2=1$

解（2）

设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$

$\mathrm{\angle }OCM=\mathrm{\angle }xCN$

所以 $k_{CM}+k_{CN}=0$

$\frac{y_1}{x_1-1}+\frac{y_2}{x_2-1}=0$

设直线 $l:x=my+n$

所以 $\frac{m{y}_1+n-1}{y_1}+\frac{m{y}_2+n-1}{y_2}=0$

$2m+(n-1)\frac{y_1+y_2}{y_1{y}_2}=0$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+y^2=1\\ x=my+n\end{array}$

$x^2+2y^2-2=0$

$(my+n{)}^2+2y^2-2=0$

$(m^2+2)y^2+2mny+n^2-2=0$

$y_1+y_2=\frac{-2mn}{m^2+2}$

$y_1{y}_2=\frac{n^2-2}{m^2+2}$

所以 $2m+(n-1)\frac{-2mn}{n^2-2}=0$

$2m{n}^2-4m+2mn-2m{n}^2=0$

$2mn-4m=0$

$2n=4$

$n=2$

所以 $l$ 过定点 $(2,0)$

$S_{\mathrm{△}CMN}=S_{\mathrm{△}MCG}-S_{\mathrm{△}CNG}$

$=\frac{1}{2}\times 1|y_1|-\frac{1}{2}\times 1\times |y_2|$

$=\frac{1}{2}|y_1-y_2|=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{4\times 2\times 1\times 1^2(2+m^2-4)}}{2+m^2}$

$=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{8(m^2-2)}}{m^2+2}$

令 $\sqrt{m^2-2}=t,\mathrm{\Delta }>0,t>0,m^2=t^2+2$

$S=\frac{\sqrt{8}}{2}\frac{t}{t^2+4}=\frac{\sqrt{8}}{2}\frac{1}{t+\frac{4}{4}}$

$⩽\sqrt{2}\frac{1}{2\sqrt{4}}$

$=\frac{\sqrt{2}}{4}$

当 $t=\frac{4}{t},t=2$ 时取等。

TIP

$\mathrm{\angle }xCN$ 中的 $x$ 表示 $x$ 轴。

TIP

求椭圆中的三角形面积，若 $\mathrm{△}$ 面积不在原点 $O$ 上，不能使用公式 $\frac{1}{2}|n||y_1-y_2|$，那就使用割补法求面积。

（如果不用割补法求面积，甚至可以求弦长和直线到点的距离，然后求面积，只不过计算可能复杂了点……也没多复杂其实）