难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题双曲线

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）常规方法，最容易想到的方法，计算相对麻烦，因式分解容易看不出来

$2c=2\sqrt{6},c=\sqrt{6}$

$\frac{(2\sqrt{6}{)}^2}{a^2}-\frac{(\sqrt{1}0{)}^2}{b^2}=1$

$a^2+b^2=c^2=6$

解得 $a^2=4,b^2=2$

$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$

解（1）运用定义法

$2c=2\sqrt{6},c=\sqrt{6}$

$F_1(-\sqrt{6},0),F_2(\sqrt{6},0),T(2\sqrt{6},\sqrt{10})$

$||F_1|-|F_{2}T||=2a$

$|F_{1}T|=8$

$|F_{2}T|=4$

所以 $2a=4,a=2$

$a^2=4,b^2=c^2-a^2=6-4=2$

解（2）1 小问

$D(1,0)$，设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$

$\overrightarrow{DA}=(x_1-1,y_1)$

$\overrightarrow{DB}==(x_2-1,y_2)$

$\{\begin{array}{l}{x}_1-1=3x_2-3\\ y_1=3y_2\end{array}$

所以 $x_2=\frac{x_1+2}{3},y_2=\frac{y_1}{3}$

$S_{\mathrm{△}{F}_1{F}_{2}A}=\frac{1}{2}{F}_1{F}_2|y_1|$

$\{\begin{array}{l}\frac{x_1^2}{4}-\frac{y_1^2}{2}=1\\ \frac{x_2^2}{4}-\frac{y_2^2}{2}=1\end{array}$

解得 $x_1=7,y_1=\sqrt{\frac{45}{2}}$

所以 $S_{\mathrm{△}{F}_1{F}_{2}A}=\sqrt{6}\sqrt{\frac{45}{2}}=3\sqrt{15}$

TIP

圆锥曲线，如果知道了曲线的方程，知道了两个点 $A(x_1,y_2),B(x_2,y_2)$ 的横纵坐标的关系，那么可以把这两个点给求出来。

解（2）2 小问

设 AB 圆的方程为

$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$

令 $y=0$

$x^2-(x_1+x_2)x+x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$

设直线 $l:x=my+1$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1\\ x=my+1\end{array}$

$(m^2-2)y^2+2my-3=0$

$y_1+y_2=\frac{-2m}{m^2-2},y_1{y}_2=\frac{-3}{m^2-2}$

$x_1+x_2=m(y_1+y_2)+2=\frac{-4}{m^2-2},x_1{x}_2=\frac{-4m^2-2}{m^2-2}$

所以 $x^2-\frac{-4}{m^2-2}x+\frac{-4m^2-5}{m^2-2}=0$

$(m^2-2)x^2+4x-(4m^2+5)=0$

下面这步还是挺难算的。

$|x_3-x_4|=\frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{a}=2$

解得 $m^2=-2(\mathrm{舍})\mathrm{或}\frac{5}{3}$

所以 $m=\pm \frac{\sqrt{15}}{3}$

$x=\frac{\sqrt{15}}{3}y+1$ 或 $x=-\frac{\sqrt{15}}{3}y+1$

第一问

有时候运用定义法求 a、b，比代入点求 a、b 更加简单，因为代入点的数字比较大，最后的因式分解还可能看不出来。