难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题椭圆

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

设 $E:\frac{x^2}{M}+\frac{y^2}{N}=1$

$\frac{\frac{9}{4}}{M}+\frac{1}{N}=1$

$\frac{4}{N}=1,N=4$

$\frac{9}{4M}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

$M=3$

所以 $E:\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$

解（2）

$k_{AB}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$

$l_{AB}:y=\frac{2}{3}x-2$

设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$

$T(\frac{3(y_1+2)}{2},y_1)$

因为 T 是 MH 中点，所以 $H(3(y_1+2)-x_1,y_1)$

令 HN 过定点 $(0,-2)$，下证

$k_{AN}=k_{AH}$

$\frac{y_2}{x_2}=\frac{y_1+2}{3(y_1+2)x_1}$

分母复杂不太好约分，所以两边同时取倒数

$⟺$

$\frac{x_2}{y_2+2}=\frac{3(y_1+2)-x_1}{y_1+2}=3-\frac{x_1}{y_1+2}$

$\frac{x_2}{y_2+2}+\frac{x_1}{y_1+2}=3$

到这里发现反设直线简单一点，

设直线 MN 为 $x=m(y+2)+1$

所以 $\frac{m(y_2+2)+1}{y_2+2}+\frac{m(y_1+2)+1}{y_1+2}=3$

$2m+\frac{y_1+y_2+4}{(y_2+2)(y_1+2)}=3$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1\\ x=m(y+2)+1\end{array}$

$4x^2+3y^2-12=0$

$x=my+2m+1$，令 $2m+1=n$

$x=my+n$

$4(my+n{)}^2+3y^2-12=0$

$(4m^2+3)y^2+8mny+4n^2-12=0$

$y_1+y_2=\frac{-8mn}{4m^2+3}=\frac{-8m(2m+1)}{4m^2+3}$

$(y_1+2)(y_2+2)=\frac{(4m^2+3)4-16mn+4n^2-12}{4m^2+3}$

$=\frac{16m^2-16mn+4n^2}{4m^2+3}$

$=\frac{4(4m^2-4mn+n^2)}{--}$

$=\frac{4(2m-n{)}^2}{--}$

$=\frac{4}{4m^2+3}$

所以即证 $2m+\frac{-8m(2m+1)+16m^2+12}{4}=3$

$2m+\frac{-8m+12}{4}=3$

$\frac{12}{4}=3$

证毕

TIP

尽可能多拿分，而不是尽可能拿满分。

过定点 $(x_0,y_0)$ 正设直线方程和反设直线方程

$y-y_0=k(x-x_0)$

$x-x_0=m(y-y_0)$

且 $km=1$

TIP

知道了两个点 M，N，但这两个点的表示形式很复杂，要求直线 MN 过定点，用点斜式表示直线过定点不太可能，式子太复杂。

所以选择猜定点，然后直接证明。

这道题的定点不在坐标轴上，需要通过极限的思想得出定点就是 $A(0,-2)$

PS: 不过画图要是准确了，直接肉眼能看出来。……可惜题目没有帮忙画图。

TIP

最后通过三点共线方程，三个点两两斜率相同。

注意表示斜率时，简单的点用 2 次，这样算起来简单点。