难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题椭圆

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

一开始算错情况：$\frac{1}{a^2}+\frac{\frac{3}{4}}{b^2}=1$，分子没有平方。

$\frac{1}{a^2}+\frac{\frac{9}{4}}{b^2}=1$

最后解得 $C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

TIP

如果算出来的椭圆方程的 $a^2+b^2$ 不为一个整数的话，90% 概率写错了。

解（2）

设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),P(-x_1,-y_1)$

$k_{NQ}=\frac{y_2}{x_2-2},k_{A_{1}P}=\frac{y_1}{x_1-2}$

我们联立这 2 条直线，想要得到用 $x_1{x}_2,x_1+x_2,y_1{y}_2,y_1+y_2$ 表示的直线的交点 Q 的坐标；

或则是得出交点 Q 的横纵坐标与 $x_1{x}_2,x_1+x_2,y_1{y}_2,y_1+y_2$ 的关系，然后将 $x_1{x}_2,x_1+x_2,y_1{y}_2,y_1+y_2$ 用 m，n 表示，

最后用直线 OQ 与直线 MN 联立，看解出的交点的横纵坐标有什么关系

$\{\begin{array}{l}{l}_{NQ}:y=\frac{y_2}{x_2-2}(x-2)\\ l_{A_{1}P}:y=\frac{y_1}{x_1-2}(x+2)\end{array}$

设点 $Q(x_0,y_0)$

$\{\begin{array}{l}\frac{y_1}{x_1-2}=\frac{y_0}{x_0+2}\\ \frac{y_2}{x_2-2}=\frac{y_0}{x_0-2}\end{array}$

$⟺$

$\{\begin{array}{l}\frac{x_1-2}{y_1}=\frac{x_0+2}{y_0}\\ \frac{x_2-2}{y_2}=\frac{x_0-2}{y_0}\end{array}$

两式相加，得

$\frac{x_1-2}{y_1}+\frac{x_2-2}{y_2}=\frac{2x_0}{y_0}$

设直线 MN 为直线 $x=my+n$（之所以反设直线，是因为等会将上式分离常数时会很方便）

$\frac{x_1-2}{y_1}+\frac{x_2-2}{y_2}=\frac{m{y}_1+n-2}{y_1}+\frac{m{y}_2+n-2}{y_2}=\frac{2x_0}{y_0}$

$2m+(n-2)\frac{y_1+y_2}{y_1{y}_2}=\frac{2x_0}{y_0}$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ x=my+n,\end{array}$

$3x^2+4y^2-12=0,3(my+n{)}^2+4y^2-12=0$

$(3m^2+4)y^2+6mny+3n^2-12=0$

$y_1+y_2=\frac{-6mn}{3m^2+4},y_1{y}_2=\frac{3n^2-12}{3m^2+4}$

所以 $2m+(n-2)\frac{-6mn}{3n^2-12}=\frac{2x_0}{y_0}$

$m+(n-2)\frac{-3mn}{3n^2-12}=\frac{x_0}{y_0}$

$m+(n-2)\frac{-mn}{n^2-4}=\frac{x_0}{y_0}$

$m+\frac{-mn}{n+2}=\frac{x_0}{y_0}$

$\frac{2m}{n+2}=\frac{x_0}{y_0}$

$\frac{y_0}{x_0}=\frac{n+2}{2m}$

所以 $l_{OQ}:y=\frac{n+2}{2m}x$

$l:x=my+n$

联立这两条直线，得

$x=\frac{(n+2)x}{2}+n$

$x(1-\frac{n}{2}-1)=n$

$-\frac{n}{2}x=n$

$x=-2$

所以点 $R$ 在定直线 $x=-2$ 上移动。

TIP

一条直线过……点叫 M、N 两点，不出意外，后面会设这条直线的方程（正设或反设）

TIP

证明一个点在定直线上，就是求这个点的 x、y 横纵坐标之间的关系，可能它在 $x=10$ 上上下移动，可能它在 $y=5$ 上上下移动，可能它在 $y=8x$ 上移动。

反设直线

当直线过的定点 $A(-2,0)$ 在 x 轴上时，且过一个点 $Q(x_0,y_0)$，如果我们要用 $Q(x_0,y_0)$ 和定点 $A$ 来表示且反设直线，可以这样做：

首先求出 $AQ$ 的斜率：$k=\frac{y_0}{x_0+2}$

然后将斜率的倒数作为 $y$ 的系数：

$x=\frac{1}{k}y-2=\frac{x_0+2}{y_0}y-2$

总结 1：关于两条直线联立求交点

遇到两条直线联立求交点 $Q(x_0,y_0)$，我们要想明白，我们是想要用两条直线包含的变量来表示交点的精确坐标 $x_0=@@@,y_0=@@@$，还是用两条直线包含的变量来表示出交点坐标的横纵坐标的关系式？

在这里 2 条直线的样子很复杂，不太好直接表示出 $x_0=@@@,y_0=@@@$ 这种形式。

于是我么可以采用第二种方法：

我们可以先设交点坐标，比如这里就是 $Q(x_0,y_0)$，然后利用 2 组 3 点共线方程，求出这个交点的，用两条直线包含的变量来表示的，关于 $x_0,y_0$ 的关系式。

注意，在这道题里是确实这样做可以解开题，但不是每道题都可以这么做。

总结 2：总结解题过程

我们最开始设出了点 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$，然后用这些点表示出了 2 条与 M、N 点有关的直线方程，那么这 2 条直线方程也应该与 M，N 点有关系。