难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题椭圆硬解定理椭圆的第三定义

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$2a=4$

$a=2$

$c=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 2=\sqrt{3}$

$b^2=a^2-c^2=4-3=1$

$C:\frac{x^2}{4}+y^2=1$

解（2）

设过 $F_2(\sqrt{3},0)$ 的直线为 $x=my+\sqrt{3}$，$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$

$S_{\mathrm{△}OAB}=\frac{1}{2}\sqrt{3}|y_1-y_2|$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+y^2=1\\ x=my+\sqrt{3}\end{array}$

根据硬解定理，$M=4,N=1,A=1,B=-m,C=-\sqrt{3}$

$|y_1-y_2|=\frac{{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}_y}{|a|}$

$=\frac{\sqrt{4MN{A}^2(M{A}^2+N{B}^2-C^2)}}{M{A}^2+N{B}^2}$

$=\frac{\sqrt{4\times 4\times 1^2(4+m^2-3)}}{m^2+4}$

$=\frac{\sqrt{16(m^2+1)}}{m^2+4}$

$=\frac{4\sqrt{m^2+1}}{m^2+4}=\frac{4\sqrt{m^2+1}}{m^2+1+3}$

$=\frac{4}{\sqrt{m^2+1}+\frac{3}{\sqrt{m^2+1}}}⩽\frac{4}{2\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$，当 $m^2+1=3$

即 $m^2=2$ 时取等。

所以 $S_{\mathrm{△}OAB}⩽\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{2}{\sqrt{3}}=1$

解（3）

$k_1=\frac{y_3}{x_3+2},k_{M{A}_2}=\frac{y_3}{x_3-2}$

设 $M(x_3,y_3),B(x_4,y_4)$

$k_1\cdot k_{M{A}_2}=-\frac{1}{4}$（椭圆第三定义）

$k_1=-\frac{1}{4k_{M{A}_2}}$

所以 $k_2=-\frac{1}{2k_{M{A}_2}}$

$k_2{k}_{M{A}_2}=-\frac{1}{2}$

所以 $\frac{y_4}{x_4-2}\cdot \frac{y_3}{x_3-2}=\frac{y_3{y}_4}{(x_4-2)(x_3-2)}$

设直线 $MB$ 为 $x=my+n$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+y^2=1\\ x=my+n\end{array}$

$x^2+4y^2-4=0$

$(my+n{)}^2+4y^2-4=0$

$(m^2+4)y^2+2mny+n^2-4=0$

$y_3{y}_4=\frac{n^2-4}{m^2+4}$

$x^2+4(\frac{x-n}{m}{)}^2-4=0$

$(x_4-2)(x_3-2)=\frac{4(\frac{2-n}{m}{)}^2}{1+\frac{4}{m^2}}$

$=\frac{4(2-n{)}^2}{m^2+4}$

$-\frac{1}{2}=\frac{n^2-4}{4(n-2{)}^2}=\frac{(n+2)(n-2)}{4(n-2{)}^2}=\frac{n+2}{4(n-2)}$

$-2(n-2)=n+2$

$4=3n+2$

$n=\frac{2}{3}$

所以 $x=my+\frac{2}{3}$

所以 $BM$ 过定点 $(\frac{2}{3},0)$

TIP

当遇到 $\frac{1\mathrm{次}}{2\mathrm{次}}$ 或 $\frac{2\mathrm{次}}{1\mathrm{次}}$ 这种式子，求这种式子的值域时，通常令 1 次 为新元，或者直接进行配凑。

TIP

一条直线过一个定点 P，如果点 P

• 在 x 轴上，通常反设直线，比如 $x=my+n$
• 在 y 轴上，通常正设直线，比如 $y=kx+m$

TIP

当我们看到椭圆上 1 个点 M 和椭圆左顶点 $A_1$ 连起来了，且椭圆上另一点 N 和椭圆的右顶点 $A_2$ 连起来了，

应该想到椭圆的第三定义：

$k_{M{A}_1}\cdot k_{M{A}_2}=-\frac{b^2}{a^2}$