难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题椭圆斜率和问题斜率积问题分离参数点乘双根法直线与圆相切问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$AG=6$

$A{G}^{\prime }=\sqrt{36-r^2}$

$\frac{r}{A{G}^{\prime }}=\frac{y_B}{AG+r}$

利用相似，

$\frac{r}{\sqrt{36-r^2}}=\frac{y_B}{r+6}$

$\frac{r^2}{36-r^2}=\frac{1-\frac{(r+2{)}^2}{16}}{(r+6{)}^2}$

$\frac{r^2}{(6-r)(6+r)}=\frac{1-\frac{(r+2{)}^2}{16}}{(r+6{)}^2}$

$\frac{r^2}{6-r}=\frac{16-(r+2{)}^2}{16(r+6)}=\frac{4^2-(r+2{)}^2}{16(r+6)}=\frac{(r+6)(r-6)}{16(r+6)}$

$\frac{r^2}{6-r}=\frac{2-r}{16}$

$16r^2=r^2-8r+12$

$15r^2+8r-12=0$

$(3r-2)(5r+6)=0$

$r=\frac{2}{3}$

解（2）

设经过 $M(0,1)$ 的直线为 $y=kx+1$

$d=\frac{|2k+1|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{2}{3}$

$4k^2+4k+1=\frac{4}{9}(k^2+1)$

$9(4k^2+4k+1)=4(k^2+1)$

$32k^2+36k+5=0$

$k_1{k}_2=\frac{5}{32},k_1+k_2=-\frac{36}{32}=-\frac{9}{8}$

设直线 $EF:y=kx+m,E(x_1,y_1),F(x_2,y_2)$

$k_1{k}_2=\frac{y_1-1}{x_1}\cdot \frac{y_2-1}{x_2}=\frac{(y_1-1)(y_2-1)}{x_1{x}_2}$

$\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{16}+y^2=1\end{array}$

$x^2+16y^2-16=0$

$x^2+16(kx+m{)}^2-16=0$

$x_1{x}_2=\frac{16(m^2-1)}{16k^2+1}$

$x_1+x_2=\frac{-32mk}{16k^2+1}$

$x=\frac{y-m}{k},\frac{(y-m{)}^2}{k^2}+16y^2-16=0$

$(y_1-1)(y_2-1)=\frac{\frac{(1-m{)}^2}{k^2}}{\frac{1}{k^2}+16}=\frac{(1-m{)}^2}{16k^2+1}$

$\frac{(m-1{)}^2}{16(m^2-1)=\frac{(m-1{)}^2}{16(m+1)(m-1)}}=\frac{m-1}{16(m+1)}=\frac{5}{32}$

$2m-2=5m+5$

$3m=-7$

$m=-\frac{7}{3}$

$k_1+k_2=\frac{y_1-1}{x_1}+\frac{y_2-1}{x_2}=\frac{k{x}_1+m-1}{x_1}+\frac{k{x}_2+m-1}{x_2}$

$=2k+(m-1)\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}$

$=2k+(m-1)\frac{-32mk}{16(m^2-1)}=2k+\frac{-2mk}{m+1}=-\frac{9}{8}$

$\frac{2mk+2k-2mk}{m+1}=-\frac{9}{8}$

$k=-\frac{9}{16}\times (-\frac{4}{3})=\frac{3}{4}$

所以 $EF:y=\frac{3}{4}x-\frac{7}{3}$

$d=\frac{|\frac{3}{2}-\frac{7}{3}|}{\sqrt{\frac{9}{16}+1}}=\frac{|\frac{9-14}{6}|}{\frac{5}{4}}=\frac{5}{6}\times \frac{4}{5}=\frac{2}{3}=r$

所以直线 EF 与圆相切。

遇到两条直线时圆的切线的时候

遇到两条直线时圆的切线的时候，不要设 $l_1,l_2$ 两条直线，不要设两次。

只需要设一次直线比如 $y=kx+m$，这样后面通过点到直线距离公式，可以得到关于 $k$ 的二次方程，也就可以通过韦达定理得出两条切线的斜率 $k_1,k_2$ 的关系。

TIP

证明一条直线与一个圆相切，一般只有证明圆心到直线距离为 $r$ 这一个方法