06_知道三角形两个边的向量，如何求面积

前提条件建立正交坐标系，向量都能用坐标来表示。

比如 $\overrightarrow{a}=(x_1,y_2),\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$。

那么三角形的公式就可以推出：

$S=\frac{1}{2}absin\theta$

$=\frac{1}{2}\sqrt{(|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|{)}^2(1-co{s}^2\theta )}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{(|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|{)}^2-(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}{)}^2}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)-(x_1{x}_2+y_1{y}_2{)}^2}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{x_1^2{x}_2^2+x_1^2{y}_2^2+x_2{y}_1^2+y_1{y}_2^2-x_1^2{x}_2^2-2x_1{x}_2\cdot y_1{y}_2-y_1^2{y}_2^2}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{x_1^2{y}_2^2+x_2^2{y}_1^2-2x_1{x}_2{y}_1{y}_2}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{(x_1{y}_2-x_2{y}_1{)}^2}$

$=\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$

TIP

注意是 $x_1{y}_2-x_2{y}_1$ 中是减号！

简单记忆：$S=\frac{1}{2}|\mathrm{外}\mathrm{外}-\mathrm{内}\mathrm{内}|$。