三角形的四心：重心，外心，内心，垂心

重心

重心是三角形三边中线的交点。

重心将中线长度分成 2:1；

从物理角度理解重心

质量均匀分布的物体（均匀物体），重心的位置只跟物体的形状有关。

可以用悬挂法来确定，物体的重心。

TIP

圆锥曲线中，重心该怎么翻译？

假设三角形的三个点是 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$，那么三角形的重心是

$$x_G=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}$$$$y_G=\frac{y_1+y_2+y_3}{3}$$

内心

三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。

角平分线上的任意点到角两边的距离相等。

TIP

圆锥曲线中，内心该怎么翻译？

假设三角形的三个点是 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$，

翻译方式一：那么有等式：

$S_{ABC}=\frac{1}{2}r{l}_{ABC}$

$l_{ABC}$ 为周长

翻译方式二：

任意两边到内心的距离相同。

外心

是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

三角形的三边的垂直平分线交于三角形的外心。

外心到三角形各顶点的距离相等。

TIP

圆锥曲线中，外心该怎么翻译？

假设三角形的三个点是 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$，三边是 $a,b,c$

那么三边的中垂线交于一点。

还有一种方法是使用同构。

垂心

三条高线的交点，高线与对应边垂直；